CHAPITRE PREMIER

14. Le rapport de Tare infiniment petit à sa corde a pour limite l'unité, à condition toutefois qu'au point où viennent se confondre les deux extrémités de l'arc, la tangente à la courbe soit unique.

En effet soit MN (flg. 10, pi. II) un arc infiniment petit sur une courbe quelconque ; sa longueur se déterminerait en inscrivant dans cet arc des contours polygonaux dont le périmètre aurait cette longueur pour limite (ch. compl. n® VI). Soit a 6 un côté d'un de ces contours polygonaux. Par les points M et a je mène la droite MV. Les arcs M(i.et ab étant infiniment petits, leurs cordes feront des angles infiniment petits avec la tangente menée par leur extrémité commune a (ch. comp. n® IX). Donc aussi l'angle Va t qu'elles font entre elles est infiniment petit.

Du point M comme centre je décris des circonférences passant par les points a et b, coupant la corde M N aux points h et ft, et la droit M V aux points a et l (si la courbe n'est pas plane, les circonférences seront remplacées par des sphères). Je remarque d'abord qu'une même circonférence ne peut couper l'arc M N infiniment petit qu'en un point; car a étant, par exemple, la première intersection de l'arc MN avec la circonférence de^rayon Ma, si l'on supposait qu'un second point s de cette circonférence pût appartenir à l'arc a N, d'après le raisonnement précédent, l'angle Nas devrait être infiniment petit , ce qui est absurde , cet angle étant nécessairement plus grand qu'un angle droit. Or, l'angle Va J étant. infiniment petit, et les deux autres angles du triangle bal étant finis,

comme on le reconnaît sans peine, le rapport — 7 ^^ n diffère

Q 9 lit n

infiniment peu de l'unité.

Si l'on répète le même raisonnement sur chacun des côtés, tels que a 6, d'un contour polygonal quelconque inscrit dans Tare MN, on arrive à cette conclusion que le rapport du périmètre à la corde MN ne diffère de l'unité que d'un infiniment petit ; donc aussi l'unité est la limite vers laquelle tend le rapport de l'arc infiniment petit à sa corde.