CHAPITRE II

Plus le rayon A, dont rextrémilé A est fixe, sera grand, plus rinsersection M se rapprochera tle rexlrémité H de Tare invariable HK; car si Ton construit ainsi deux circonférences tangentes Tune à l'autre en A, celle qui aura le plus grand rayon enveloppera l'autre. Si donc le point s'éloigne indéfiniment sur A X, Tare H M, constamment décroissant, aura une limite unique Hm finie ou nulle. Si cette limite est nulle, le point m se confond avec H ; c'est effectivement ce qui a lieu , mais ce n'est qu'avec le secours de la théorie des parallèles qu'on sait le démontrer ; je m'abstiens donc actuellement de rien préciser à cet égard. Tout autre arc de cercle K' H' concentrique à K H contiendra de même un point m\ dont s'approche indéfiniment la circonférence 0, lorsque son centre s'éloigne du point A au delà de toute limite. La ligne AV, qui contient tous les points tels que m, m\ qu'on peut ainsi obtenir en faisant varier le rayon A H^ jouit de la propriété suivante : si dans l'intérieur del'angleQ AX on prend à partir du point A, sur la circonférence 0, un arc d'une longueur finie quelconque, tous les points de cet arc s'approchent indéfiniment de A V , lorsque le centre s'éloigne indéfiniment sur AX.

Une branche AU, symétrique de AV, jouit de la môme propriété dans l'intérieur de l'angle P AX.

La ligne indéfinie U V sera dite Varc de rayon infini dérivé de la circonférence passant parle point A et dont le centre s'éloigne indéfiniment sur A X.

L'expression d'arc est employée ici dans un sens général qui n'implique pas nécessairement l'idée de courbure, rien dans tout ce qui précède n'ayant été établi qui indique si la ligne U V est courbe, ou si elle se confond avec la droite PQ. Quoi qu'il doive en être, tout point situé par rapport à U V du même côté que le centre de la circonférence dont cet arc dérive, sera dit situé du côté de la concavité de l'arc; tout point situé du côté opposé sera dit situé du côté de la convexité.

Il est clair que deux arcs de rayon infini sont superposables.

Si l'on suppose que l'arc U V puisse être curviligne, de toutes les droites qu'on peut mener par le point A, la droite P Q est la

seule qui, prolongée dans les deux sens, le laisse entièrement d'un même côté : c'est la tangente à Tare au point A, et la droite A X est la normale.

16. Soit U V (fig. 12, pi. II) Tare de rayom infini dérivé d'une circonférence passant par le point A, et dont le centre s'éloigne indéfiniment sur la droite AX. Soit AT la tangente au point A, et P un point de l'arc. De ce point j'abaisse sur AT une perpendiculaire que je prolonge du côté de la concavité suivant PS. On sait que les droites AX et P S perpendiculaires toutes deux sur A T ne peuvent se rencontrer. Si je joins le point P à un point quelconque pris sur AX, l'angle OPS diminuera d'une manière continue, et tendra vers une certaine limite et nulle ou finie, lorsque le point s'éloignera indéfiniment du poinjt A. Si je construis l'angle SPR égala ci (<* pouvant être nul), toute droite issue du point P et comprise dans l'angle RPA rencontrera la droite AX suffisamment prolongée, tandis que la droite PR ne la rencontre pas, si loin qu'on la prolonge.

17. Cette droite jouit de quelques propriétés que j'aurai à invoquer ; et pour permettre de passer outre plus facilement à ceux qui admettront de suite que ces propriétés sont indépendantes de la théorie des parallèles, les démonstrations en seront indiquées en petits caractères. Lorsque la même disposition se reproduira dans la suite, elle sera motivée par les mêmes considérations.

1° Sisurladroite PR(fig. 12, pi. II) ou sur son prolongement au delà du point P, on prend un point Q fixe quelconque, et qu'on le joigne à un point qui se déplace sur la droite AX, l'angle Q R tendra vers zéro quand le point s'éloignera indéfiniment du point A.

En effet, soit une droite Q L quelconque faisant avec Q R, au point Q, et dans l'intérieur de Tangle A Q R, un angle aussi petit qu'on voudra; soit un point C situé dans l'intérieur de l'angle L Q R. La droite P C, suffisamment prolongée, rencontrera la droite A X (n° 16) ; Q L la rencontrera à plus forte raison ; donc on peut prendre sur A X