CHAPITRE II

UD point assez éloigné pour que la droito qui joint ce point au point Q fasse avec Q R un angle aussi petit qu'on voudra.

?• Le point sur la droite A X peut être pris assez éloigné du du point A, pour que la circonférence décrite de ce point comme centre avec OA pour rayon coupe la droito PR.

Soit, en eiïet, A H (fîg. 13, pi. II) la perpendiculaire abaissée du point A sur P R, et soit M un point quelconque situé sur H R ; Tangle A M R est obtus, et si au point M j'élève une perpendiculaire sur A M, d'après le théorème précédent, elle rencontrera A X en un point 0. Dans le triangle rectangle M A, l'hypoténuse A est plus grande que le côté M. D'autre part, d'après la manière dont l'arc U V est déterminé, le point P est extérieur à la circonférence décrite du point comme centre avec A pour rayon ; le point M lui est intérieur ; donc cette circonférence coupe P R quelque part en un point I situé entre P et M.

Remarquons que l'angle M R étant aigu, la circonférence no peut avoir entre P et M qu'un point commun avec.P R ; il en sera encore de même, si, M restant fixe, je suppose que le centre s'éloigne du point A.

Le point I, situé sur une circonférence dont tous les points tendent vers l'arc UY, s'approche donc indéfiniment du seul point P qui soit situé à la fois sur cet arc et sur la portion de droite P M à laquelle I appartient.

3° Soit I l'intersection de la circonWrence avec PR (fig. 14, pi. II); l'angle OIR décroît au delà de toute limite, lorsque le centre s'éloigne indéfiniment sur AX, et que le sommet I s'approche indéfiniment du point P.

£n effet, après avoir construit l'angle OIR déterminé par uxie des circonférences qui coupent P R, je peux prendre sur A X un second point 0' plus éloigné de A que le point 0, et en même temps assez éloigné pour que l'angle OM R soit aussi petit qu'on voudra. La circonférence 0', à laquelle le point l précédemment déterminé est intérieur,' coupera P R en un point P; l'oblique 0' P plus grande que l'oblique 0' I s'écarte davantage du pied de la perpendiculaire abaissée de 0' sur P R ; l'angle aigu 0' I R est donc extérieur au triangle 0' 1 1^ la somme des trois angles de ce triangle no pouvant excéder deux

angles droiis (ch. compl. n*' III), l'angle 0' V R est plus petit que 0' I R, et par conséquent peut devenir plus petit que tout angle donné.

4** L'arc U V, déterminé comme il a été exposé plus haut, se confond sur une étendue finie quelconque avec Tare dérivé d'une circonférence passant par le point P et dont le centre s'éloignerait indéfiniment sur la droite PR.

Sur U V je prends à partir du point P (fig. 15, pi. II) un arc P N quelconque dont je mène la corde. Je construis la circonférence avec un rayon A plus grand que la moitié de la corde P N et assez grand pour qu'elle coupe P R en un point [ ; je prends sur cette circonférence, à partir du point I, un arc I K sous-tondu par une corde égale à la corde P N, et à partir du point A, je prends l'arc A L égal à I K. Les cordes A L et P N, égales toutes deux à la corde I K, sont égales entre elles.

Sans faire varier la longueur P N, je suppose que le centre s'éloigne indéfiniment du point A ; les angles A L et 1 K seront constamment égaux, et par conséquent leurs limites sont égales. Or, d'un même côté de la droite 01 le point K est le seul sur la circonférence dont la distance au point I soit égale à P N (les premiers théorèmes du deuxième livre de Legendre ne reposent en rien sur la théorie des parallèles) ; donc, quand le point I s'approche indéfiniment du point P, et qu'en général tous les points de la circonférence tendent vers l'arc U V, le point K s'approche indéfiniment de N ; l'angle 1 R décroît d'ailleurs au delà de toute limite ; on en déduit que l'angle R I K a pour limite RPN.

D'un autre côté , le point L s'approche indéfiniment d'un certain point M de l'arc U V, et l'angle A L a pour limite A M. Les angles AM et RP N, limites de deux angles constamment égaux, sont donc égaux entré eux. Observant, en outre, que la corde A M ne peut différer de A L, ni par suite de P N, on conclut que, si l'on déplace la figure RPV en faisant coïncider PR avec A X, le point N tombera en M; autrement dit, dans cette nouvelle position, l'arc PV, dont le point N estuii point quelconque, s'appliquera exactement sur l'arc A Y, ce qui démontre la proposition énoncée.

Il en résulte les corollaires suivants :

Corollaire I. La droite PR est la normale à l'arc UV, élevée au point P.