CHAPITRE II

Corollaire II. Par un point quelconque S du plan on peut mener une normale à Tare UV, et Ton n'en peut mener qu'une seule.

£d effet, joignons le point S à un point quelconque, pris sur la droite A X (fig. 16, pi. II) ; la circonférence décrite du point comme centre avec A pour rayon coupe S en un certain point M ; quand le centre s'éloigne du point A, la droite S tend vers une position déterminée S R; le point M constamment situé sur S 0, et à une distance finie de S moindre que S A, s'approche donc indéfiniment de la droite S R ; d'ailleurs il s'approche indéfiniment aussi de l'arc UV; cet arc et la droite S R doivent donc avoir un point commun P. Un raisonnement identique à celui par lequel le premier théorème de ce numéro a été établi, démontre, à l'aide du corollaire précédent, que S R est normale à l'arc au point P, et qu'aucune autre droite issue du point S ne peut être normale.

18. Si deux arcs de rayon infini dérivent de circonférences concentriques dont le centre s'éloigne indéfiniment sur une normale commune, toute droite normale à Tun sera normale à l'autre.

En effet, la normale à l'un des arcs menée par un point quelconque de l'espace se déterminera absolument de la même manière que la normale à l'autre menée par le même point [a^ 17, corollaire II).

Deux tels arcs seront dits parallèles .

Un arc de rayon infini étant donné, on sait qu'on peut lui mener une normale par un point quelconque de son plan, et qu'on n'en peut mener qu'une ; on pourra de même, par tout point du plan, lui mener un arc parallèle, et, par un même point, on n'en pourra mener qu'un seul.

19. Deux arcs parallèles de rayon infini interceptent sur leurs normales communes des longueurs égales.

Soient, en effet, AB et A' B' (Hg-I?» pi- II) deux normales comprises entre les arcs parallèles A A' etB B'. Je prolonge ces normales du côté de la concavité. Soit AX le prolongement de BA; les deux arcs peuvent être considérés comme dérivés de circonférences dont le centre s'éloigne indéfiniment sur la droite A X. D'un point pris sur cette droite, comme centre, aveclcs rayons A et B, je décris deux circonférences

dont la première coupe le prolongement de B' A' en un point a ; le rayon a prolongé coupe la seconde en 6, et Ton a a ô = A B. Or le point a s'approche indéfiniment de A' ; le point &, qui tend à la fois vers la droite A' B' et vers Tare B B', s'approche indéfiniment de leur point commua B^ ; il s'ensuit que a b, et par conséquent aussi son égale A B, ne peut différer de A' B', c'est-à-dire que les arcs interceptent sur les deux normales communes des longueurs égales.

La longueur constante de la normale commune mesure la distance des arcs parallèles.

Uarc de rayon inflni étant partout identique à lui-même, il résulte du théorème précédent que si Ton double Tare A A', Tare BB' sera doublé, et qu'en général le rapport de deux arcs parallèles compris entre normales communes est constant, quel que soit Técartement de ces normales : il ne dépend que de la distance des arcs.

La calcul suivant a pour objet de déterminer la valeur de ce rapport en fonction de la longueur A B , seule quantité dont il puisse dépendre.

20. Rapport de deux arcs parallèles de rayon infini compris entre deux noi^males communes.

Soient A G et BD deux arcs parallèles de rayon inflni (flg. 18, pi. III) compris entre les normales A B et CD; je désigne la

distance A B des deux arcs par z, et le rapport -t-tt par f {z) ;

je me propose de trouver la forme de la fonction f. Pour cela, entre les deux normales prolongées au delà des points B et D, c'est-à-dire du côté de la convexité, je mène Tare B'D' parallèle à BD, et distant de cet arc d'une longueur BB' que je désigne par h. Tous les arcs de rayon infini étant identiques , et la fonction f dépendant uniquement de la distance des arcs parallèles, et non de l'écartement des normales, on a: