CHAPITRE II

Multipliant les deux membres extrêmes par f [h), et retranchant des deux produits égaux la même quantité f {2), on obtient Tégalité :

d'où Ton tire, en divisant les deux membres par h :

Si Ton fait tendre h vers zéro, le premier membre a pour limite la dérivée f* {z) de la fonction f\ et, comme pour z égal à zéro la fonction f est égale à 1, le second membre peut s'écrire

f (.) f^^^-f^^) ^gt a poup YimïiQ f{z) f (0). D'où l'égalité :

f[z)z:.mf[%

Soit f {0) z=: — , k étant une constante ; la relation précé-

P [z] 1 dentepeut s' écrire -—-r=: -- , équation dififérentielle de laquelle

on tire par intégration, et en remarquant que Lf[z) s'annule avec z :

Lf{z)=^, ou f{z)=e^ (a)

21. Dans cette dernière formule, k représente un certain paramètre linéaire déterminé, mais dont la valeur nous reste inconnue. J'ai supposé l'arc BD du côté de la convexité de

l'arc A G. Il en résulte que le rapport -r-r ne peut être plus

petit que un; d'ailleurs, ce rapport .est fini tant que z reste fini; donc, d'après la formule {a) elle-même, le paramètre k ne peut être nul, et doit être nécessairement ou bien fini et positif, ou bien infini. Supposer k fini, c'est admettre que des relations géométriques générales peuvent dépendre d'une certaine longueur absolue, laquelle disparaît dans Thypo thèse contraire. Chacun a la certitude qu'un tel paramètre ne peut

exister, et que par suite' /c est infini (1). Mais ce que je veux prouver, c'est que cette certitude ne peut pas se baser sur le raisonnemeiit.

22. Détermination de la position d'un point dans le plan, au moyen de deux coordonnées.

Pour qu'on puisse appliquer l'analyse à la géométrie, il est essentiel que la position d'un point quelconque se détermine au moyen d'éléments susceptibles de mesure, qu'on appelle les coordonnées du point. La simplicité de la formule (a) m'a conduit à choisir pour système de comparaison dans un plan un arc de rayon infini, tel que u v (fig. 20, pi. III), mené par un point pris arbitrairement dans le plan. La position d'un ^ point M du plan sera déterminée lorsqu'on connaîtra la longueur de la normale MP abaissée du point M sur uv, la distance OP, comptée suivant l'arc, du point au pied de la normale , et le sens dans lequel chacune de ces deux longueurs doit être portée. La longueur P, affectée du signe + ou du signe — , selon le sens dans lequel elle est portée à partir du point 0, est l'une des coordonnées du point M; je la nommerai abscisse, et je la désignerai habituellement par la lettre x. La seconde coordonnée, que je désignerai habituellement par la lettre z, est la longueur PM, affectée du signe + ou du signe — , selon que le point M est situé du côté de la convexité, ou du côté de la concavité de l'arc uv.

23. Dans ce système de coordonnées, si le paramètre k est supposé fini, toute ligne dont la définition est indépendante du

(1) Si dans la formule (a) on fait k infini, il vient /*(*)= 1. On en déduit aisément que l'arc de rayon infini se confond avec sa tangente sur une longueur finie quelconque. Soit en effet un arc A V de rayon infini (fig. 19, pi. III) que je suppose différent de sa tangente A T. D'un point V de cet arc j'abaisse V H perpendiculaire sur la normale AX ; je mène par le point H l'arc H U, parallèle àAV, compris entre les normales aux points A et Y. J'ai AV>HV etHV>HU; d'où l'inégalité AY>HU, et, par conséquent, /{AH)>]. Si donc, quel que soit z, la fonction /'est égale à 1, il faut que l'arc A Y se confonde avec sa tangente, d'où résulte toute la théorie des parallèles.