V .e^ -h z'^ = V, sous la

que j'écrirai, en posant r .c'^ + 5'^ zz V, sous la forme abrégée :

'= ^ \dx.

Si je désigne par Z et Z' les dérivées partielles de V, prises, la première par rapport à z, la seconde par rapport à z\ la variation infiniment petite S ^ de l'arc aura pour expression l'intégrale définie :

iz représentant la variation de :; lorsque les abscisses x ne subissent pas de variation.

Or, la détermination des dérivées partielles de V donne pour Z et Z' des valeurs qui peuvent être mises sous les formes suivantes :

Z = -7-rr- et Z' r=

il z' On aura de même, en posant Z' = z" :

tt X

ilT k r»* z" — e^ z'^

lix k V

dZ' Si Ton remplace, dans Texpressionde S^, Z et -r— parleurs va-

leurs, et qu'on mette -r— en facteur commun sous le signe f il vient :

%s- f %z. jt (V, — kz" -h s") d X.

kY'

Lorsque s est un minimum, is est nul, ce qui exige, comme on sait, que l'expression sous le signe /, qui multiplie les infiniment petits iz et dx, soit nulle. De là Téquation:

^ . (V — kz" + z") = 0,

qui peut être satisfaite de deux manières : l'' si Ton a f^ y 3 = 0,

2' si Ton a V^ — fe 5" + z'' = 0.

La première de ces deux équations est incompatible avec rhypothèse d'une valeur finie de k ; d'ailleurs les conséquences