CHAPITRE II

de l'hypothèse contraire qui comprennent la théorie des parallèles, et par suite les formules ordinaires de géométrie analytique, se déduisent de la deuxième équation si Ton y fait k infini; car Téquation ne peut alors subsister qu'à la condition que Ton ait z^' = 0, d'où Ton tire, par double intégration, l'équation de la ligne droite sous la forme connue y = px ^q. L'équation V* — A; z" -f- 2'* =z renferme donc à elle seule la solution complète du problème, quelque hypothèse qu'il plaise faire sur la valeur de k.

Si j'y remplace V* par sa valeur, il vient :

équation différentielle qui convient à la portion de droite comprise entre les points M et N. Mais cette équation ne contient pas les limites de l'intégration, ni les valeurs de la fonction à ces limites ; elle a donc pour intégrale générale l'équation générale d'une droite indéfinie. On trouve ainsi pour l'équation paramétrale de la ligne droite (voir le développement des calculs, tableau A, à la suite du chapitre complémentaire) l'équation

lif (^ — P) (rc — Q) = — /c« e^ (d)

dans laquelle P et Q sont des constantes arbitraires, et qui peut s'écrire aussi :

La coordonnée s: n'étant susceptible que d'une seule valeur pour chaque valeur de x, l'équation représente une droite

unique.

Si l'on pose e^ = t, l'équation prend la forme :

27. Si deux points ont pour coordonnées, l'unT,, s,, l'autre a:,, 2„ on déterminera les valeurs de P et de Q* relatives à la droite

3G ËTUDES ANALYTIQUES SUR LA THfiORIE DES PARALLÈLES.

qui passe par ces deux points, en substituant dans réquation générale les coordonnées x^, z^ et j-,, z^ aux coordonnées courantes.

On obtiendra ainsi deux équations qui donneront P x Q et P + Q ; et les deux longueurs P, Q seront les racines d'une équation du second degré facile à établir.

28. Discussion sommaire de V équation paramétrais de la ligne droite.

Je prends cette équation sous la forme :

Pour que z soit réel, il faut que [x — P) (Q — x) soit positif, et par suite que x soit compris entre les deux limites P. et 0. Entre ces limites z varie d'une manière continue en même temps que X, et ne devient infini que pour les valeurs extrêmes P et Q de Tabscisse. La droite est donc comprise entre deux normales à l'arc de comparaison correspondantes aux abscisses P et Q. On reconnaîtra aisément> à l'aide de la formule (a), qu'elle s'approche indéfiniment de ces deux normales, quelque valeur finie qu'on suppose au paramètre fe(l).

En second lieu, si l'abscisse x, restant comprise entre P et Q, tend vers l'une quelconque de ces deux limites, le produit

(1) Soit, par exemple, Q la limite supérieure des abscisses. Si, par le point de la droite dont l'abscisse est Q — <>«, je mène un arc parallèle à Tare de comparaison et compris entre la droite et la normale correspondante à

l'abscisse Q, la longueur l de cet arc sera, d'après la formule (a), ce x e^ . De

l'équation de la droite on tire c'^ = — , d'où l = — - Donc,

l/«(a:— P) Ko? — p

si k n'est pas infini, l tend vers zéro en même temps que «.