Equation paramétrale de la circonférence

La formule (e) donne le moyen de trouver l'équation d'une circonférence de rayon R, dont le centre G (flg. 22, pi. III) a pour coordonnées OA = fltetAG = y.

Soit M un point de la circonférence, et x, z ses deux coordonnées. Une droite H L, dont les coordonnées courantes seraient

X et Z, est représentée, si l'on pose e * = T, par une équation de la forme suivante (n° 26) :

(X-P)(X-Q) = -ik«T-^

Si la droite HL passe par. les points M et G, son équation devra être satisfaite lorsqu'on y remplacera successivement les coordonnées courantes par celles de ces deux points, et Ton

devra avoir, en posant e * -=.% et e * = tf :

La distance G M étant égale au rayon donné R, on aura, d'après la fonnule (^) :

x-p «- Q ±nr

Eliminant F et Q entre les équations (1), (2), (3), on obtient l'équation suivante (voir le développement des calculs, tableau B), qui représente la circonférence proposée :

Si je posée * r=^ , e * = ?' , cette équation, dans la-

quelle ^ e * est égal kg , êe * à f ' et ^* à f p', peut s'écrire :

■ f et f ' sont les deux valeurs de t correspondant à la valeur « de X et fournissant les deux points S et S' de la circonféiience, situés sur le diamètre normal à l'arc de comparaison ; elles sont liées l'une à l'autre par la relation ^ / = ê^.

33. Equation para/métrale de Varc de rayon infini. L'équation générale de la circonférence conduit à l'équation de l'arc de rayon infini qu'il importe pour la suite de connaître. L'équation [f) peut s'écrire :

Si le centre de la circonférence, dont les coordonnées sont « et y, s'éloigne indéfiniment sur une droite quelconque, on a vu (n** 28) que y prend des valeurs positives plus grandes que toute quantité donnée. Le rayon R est essentiellement positif,