CHAPITRE n

et e * ,ou f', croît au delà de toute limite ; — tend donc 'vers

zéro pour toute valeur finie de t. Soit ui la limite de «, Téquation if) devient à la limite :

La droite sur laquelle se déplace le centre dont l'abscisse a pour limite «i, a une équation de la forme :

(X — a,) (X — P) = — ft« T-^ [h)

Cette droite est une normale à Tare de rayon infini représenté par l'équation {g), et, P pouvant être quelconque , Téquation (h) est l'équation générale de ces normales.

L'équation 'h) comprend comme cas particulier [n® 29;, lorsque P est infini, l'équation X = «j , laquelle représente une normale commune à l'arc proposé et à l'arc de comparaison. On reconnaîtra facilement que ces deux arcs ne peuvent avoir aucune autre normale commune.

La quantité f qui figure dans l'équation de l'arc n'est autre que la valeur de t qui correspond à la valeur ta de x.

34. Appliquant la formule (c') à l'équation (jg), on obtient pour la longueur S de l'arc de rayon infini dont les extrémités ont pour coordonnées X,Ze\,x, z:

S=±re*((r — «) — 6*(X-«)] . (i)

35. Les formules {b) et (c) donnent les moyens de déterminer analytiquement des longueurs infiniment petites ou finies, comptées sur des courbes dont les équations sont connues. Les angles étant proportionnels aux arcs qu'ils interceptent sur des circonférences égales décrites de leurs sommets comme centres, pourront être comparés au moyen de ces formules, qui permettront ainsi d'en déterminer la mesure. Il en est de même des superficies planes, lesquelles se mesurent (chap. compl. n** XI) par des sommes de produits dont les deux facteurs sont linéaires.

Quant aux autres grandeurs qu'on peut avoir à considérer dans un plan, elles ne peuvent être déterminées qu'à l'aide de quantités déjà définies, ce» qui en ramène la mesure à celle de longueurs, d'angles ou de superficies, c'est-à-dire finalement, dans tous les cas, à celle de longueurs, et, par conséquent, les rend calculables, lorsque la figure à laquelle ces grandeurs se rapportent, est déterminée analytiquement dans toutes ses parties.

36. Quelle que soit une relation géométrique qu'on se propose de déterminer dans une figure plane, elle pourra donc être déduite des formules générales qui ont été établies dans les numéros précédents. Le résultat qu'on obtiendra ainsi, tiré exclusivement de formules dans lesquelles un paramètre reste inconnu, ne pourra assurément jamais, fût-il combiné de quelque façon qu'on voudra avec les formules mêmes desquelles il a été déduit, conduire à la détermination de ce paramètre.

D'ailleurs il est clair que si dans la démonstration d'une proposition de géométrie on ne s'appuie que sur des axiomes auxquels les formules soient soumises, on pourra reproduire le même raisonnement, et en tirer la même conclusion, sans l'intermédiaire de la figure, en s'attaquant directement aux formules qui, de quelque manière qu'on les combine, laisseront toujours indéterminée la longueur absolue k. Il serait donc prouvé que la théorie des parallèles, qui suppose k infini, exige un postulatum, s'il était reconnu que, tant qu'on s'en affranchit, tous les axiomes dont on peut faire usage sont toujours vérifiés par les formules paramétrâtes, quelque valeur qu'on suppose au paramètre absolu.

Je n'ai à m'oecuper que des axiomes particuliers à la géométrie, et non des axiomes généraux d'analyse, auxquels les formules, par leur nature même, sont forcément soumises. Or, les axiomes de géométrie sont tous, à l'exception du postulatum, contenus dans les trois propositions suivantes (voir chap. compl. n** I et suivants) qu'on peut, par conséquent, leur substituer :

1° Soit dans une figure invariable, un point P et une droite L passant par ce point; la figure peut être transportée d'un lieu