II INTRODUCTION

M'aidant ensuite de quelques considérations géométriques, et passant de Tinfiniment petit au fini d'après les règles du calcul intégral, je suis arrivé à poser les formules fondamentales d'une géométrie analytique indépendante de la théorie des parallèles. La géométrie imaginaire de Lobatscbewsky n'est autre que celle qui résulterait de ces formules, si Ton supposait le postulatum inexact (1). Il est à remarquer qu'une telle géométrie est susceptible de recevoir la même extension que celle d'Euclide, sans que jamais ses résultats se contredisent ; il s'ensuit qu'elle ne peut pas fournir une démonstration du postulatum, car s'il en était ainsi, elle serait en contradiction avec son point de départ. Lobatscbewsky en avait conclu que le raisonnement seul ne peut pas suffire à établir les bases de la tbéorie des parallèles, telles qu'elles nous sont connues ; toutefois, pour justifier entièrement cette assertion, il est nécessaire de faire voir qu'en se servant des seuls axiomes auxquels on a recours en dehors de cette théorie, on ne peut arriver qu'à des conclusions qui seront toujours comprises dans les formules adoptées comme fondements de la géométrie imaginaire.

(1) Lobatscbewsky, dans ses Etudes géométriques sur la théorie des parallèles, et Bolyai, dans la Science absolue de l'espace, ont chacun établi directement, par des considérations géométriques, les principes de cette géométrie imaginaire, de laquelle ils ont tiré comme conséquence la géométrie des figures infinitésimales. Avant de connaître leurs travaux, j'ai été conduit aux mômes résultats en suivant une marche inverse, que je n'ai pas cru, d'ailleurs, à propos de modifier.

INTRODUCTION. m

Il me restait donc à examiner si les formules analytiques auxquelles j'étais arrivé vérifient tous ces axiomes. Cet examen devait, d'une manière ou de l'autre, fournir la réponse à la question que je m'étais posée. En effet, s'il s'était rencontré un axiome incompatible avec des formules établies dans l'hypothèse où le postulatum serait inexact, ce postulalum eût été par là même démontré ; au contraire, il est impossible d'admettre qu'il soit susceptible d'aucune démonstration, si tous les autres axiomes se trouvent vérifiés dans la géométrie imaginaire, de telle sorte qu'on n'en puisse rien tirer qui soit incompatible avec les bases de cette géométrie.

C'est à ce dernier résultat que je suis arrivé , résultat dont jusqu'ici l'exactitude avait pu être mise en doute, et que je crois avoir établi d'une manière complète, en suivant la marche que je viens d'indiquer.

La partie de ce travail qui traite des relations géométriques dans les figures infinitésimales en forme le premier chapitre.

Les chapitre II et III sont consacrés aux développements analytiques qui établissent la nécessité d'admettre un postulatum, dont le degré d'évidence n'est pas ici à discuter, mais que le raisonnement est impuissant à démontrer.

J'ai pensé qu'il pourrait être intéressant de faire connaître les formules qui, dans la géométrie imaginaire, remplaceraient les formules les plus usuelles de la géométrie vraie, et d'indiquer comment, appliquées à l'analyse, elles