CHAPITRE II

de Fespace dans un autre, de manière que le point P coïncide avec un point P' quelconque fixe dans Tespace, et que la droite L s'applique exactement sur une droite L', quelle qu'elle soit, menée par le point P' (d'après le principe suivant, il suffit, pour que les deux droites coïncident, qu'elles aient deux points communs). En outre, si la figure ne se réduit pas à la seule droite L, elle pourra changer de lieu dans l'espace en tournant autour de deux points fixes pris sur cette ligne, et ce mouvement de rotation pourra être continué indéfiniment.

2"* Par deux points on ne peut faire passer qu'une seule ligne droite.

S** Le lieu des points dont les distances à deux points fixes sont constantes, est une courbe- fermée unique, en dehors de laquelle aucun point de l'espace ne fait partie du lieu (1).

Toutes les fois qu'on invoque la première de ces trois propositions, on conçoit deux figures dont l'une reste fixe, et dont l'autre change de lieu dans le plan. Je peux toujours, pour fixer leur première position relative, les concevoir rapportées à un système quelconque de comparaison, sans toucher en rien à la démonstration géométrique; je ne modifierai pas davantage cette démonstration si, au moment où je. déplace une des figures en la faisant glisser d'une manière quelconque dans son plan, je suppose en même temps qu'elle entraîne avec elle le système de comparaison, et l'amène dans une position différente de la première. C'est après ce déplacement que j'ai à appliquer le premier des trois principes énoncés plus haut, pour en tirer quelque relation entre les éléments de la partie qui est restée fixe et ceux de la partie que j'ai déplacée; mais si, faisant abstraction de la figure, je veux raisonner sur les formules, je reconnais que ces éléments,^ rapportés maintenant à deux sys • tèmes différents, ont des expressions qui ne sont pas compa-

(l) Je ne présente pas ces trois propositions comme les axiomes qu'il conviendrait de choisir dans on traité de géométrie pour y rapporter toutes les autres. J'ai choisi ces énoncés uniquement parce que ce sont ceux qui m'ont paru conduire le plus promptement au but que je me propose.

rables ; pour les rendre telles, il faudrait ramener le système de comparaison à sa position première, et modifier, par conséquent, les formules par une transformation de coordonnées. On introduira ainsi des constantes dont la valeur se déterminera par les conditions qui définissent la nouvelle position de la figure déplacée. Si cette modification n'altère la mesure d'aucun élément, toutes les applications du premier principe se trouveront vérifiées au moyen des formules. Le second principe se trouvera aussi vérifié par là même ; car le plus court chemin d'un point à un autre, c'est-à-dire ici la ligne dont l'équation rend l'intégrale

* -I -— - dx un minimum, jouira de la même pro-

tt*JC

priété par rapport à tout système de comparaison dans le plan. Il sera donc certain que les deux premiers principes ne peuvent suffire, en géométrie plane, à établir la théorie des parallèles.

On est ainsi conduit à chercher quelles sont les formules générales de transformation de coordonnées.

Quant au troisième principe, comme il énonce une proposition qui suppose la considération, de points en dehors du plan, ce n'est que dans le chapitre suivant, lorsque les formules paramétrâtes à trois coordonnées auront été établies, qu'il y aura lieu de s'en occuper.