CHAPITRE II

M rapporté à Tare u^i)^ et à Torigine 0'. Du point M j'abaisse la droite MN normale à u*v\ et je désigne par Xi, Zi les coordonnées du pied N de cette normale dans le premier système. Les nouvelles coordonnées sont représentées sur la figure par la longueur rectiligne M N et par la longueur de Tare 0' N.

Posant e* z= T, e* = To, e* = Ti , e* = «, et e^ = t\ on a pour déterminer rc' et t\ et par suite a' les cinq équations suivantes :

Tî(X.-«)«=fc«(Iî-- l) (1)

qui exprime que N est sur Tare u* v' ;

(ar — «) (a? — F) = — k^ t'^ (3)

qui expriment, conformément à la formule (h) que les deux points N et M sont sur une même normale à u* i;' ;

x' = T,(X. — «)— To(Xo — «) (5)

qui expriment, conformément aux formules {e) et (i) , que les nouvelles coordonnées sont égales, «' à MN et a?' à O'N.

Les valeurs de so* et de t', se déduisent de ces cinq équations, en éliminant Xi, Ti et P. On obtient ainsi (voir le développ. des calculs, tableau G) les formules suivantes :

dans lesquelles les constjuites sont liées entre elles par la relation

VA\-aY = k*(-^-i)

que fournit l'équation du nouvel arc de comparaison. En résolvant ces équations par rapport à x et à t, on obtiendrait des formules semblables.

38. La longueur d'un élément linéaire infinitésimal est représentée, sauf une fraction infiniment petite d'elle-même, par la différentielle dsàe l'arc sur lequel cette longueur est comptée. On a d'après la formule (6") :

La formule à appliquer après une transformation de coordonnées serait :

En portant dans cette dernière la valeur de t', donnée par la

formule U'), et les valeurs de d x' et de —7-, tirées des valeurs

de X* et de t\ on vérifie (voirie développ. des calculs, tableau D) l'égalité :

t'' dx'' + k' -4^ = t^ dx^ + fc*

d*où ds =z ds\

Une transformation de coordonnées ne peut donc jamais, quelque valeur qu'on donne au paramètre k dans les formules, modifier l'expression d'un élément linéaire, ni par suite celle d'aucune grandeur géométrique, de quelque nature qu'elle soit.

39. Soit MN (fig. 24, pi. III) une ligne droite qui, rapportée à l'arc de comparaison u v et k l'origine 0, a pour équation (/p — p) (x — Q) =: — K^ t-^ ; soient Xi, z^ les coordonnées du point M sur cette droite. Soit M' N' une seconde droite ayant pour équation {x — P') {x — Q') = — K^ t'^ , et suivant laquelle, dans une démonstration géométrique, on applique la droite MN en faisant coïncider le point M avec le point M'; soient enfin x^ et z^ les coordonnées de ce point M'.

Après avoir mesuré l'angle « que la droite M' N' fait avec la normale abaissée du point M' sur l'arc uv, je pourrai poser l'équation d'une droite faisant le même angle au point M avec la droite M N, et déterminer analytiquement sur cette droite un point H tel que la longueur M H soit égale 4 z^l posant alors l'équation de l'arc u^ v^ de rayon infini qui, passant par H, est normal