CHAPITRE III

surface sera appelée la surface de rayon infini dérivée de la sphère passant par le point A et dont le centre s'éloigne indéfiniment sur la droite A X.

Le plan perpendiculaire à AX au point A est, de tous les plans qu'on peut mener par ce point, le seul qui ne coupe pas la surface ; il sera dit tangent, et la droite A X, qui lui est perpendiculaire, sera dite normale à la surface au point A.

41. Si par un point P quelconque de Tare générateur A V, je mène la normale PR à cet arc, la surface engendrée par la rotation de Tare P V autour de P R se confond avec cellç engendrée par la rotation de Tare A V autour de AX ; en d'autres termes , la surface de rayon infini est partout identique à elle-même.

£q effet, on a vu dans le chapitre précédent que, si le paramètre k est ioGoi, la théorie des parallèles est justifiée ; dans ce cas, la surface de rayon infini est un plan auquel les droites AX et P R sont perpendiculaires, et le théorème est démontré.

Supposons maintenant, au contraire, que le paramètre soit fini. D'après la formule (a), établie au n^ 20, je peux prendre sur A X [ûg. 26, pi. Iir] un point assez éloigné de A pour que Tare parallèle à A P, mené par ce point et compris entre A X et P R soit, dans l'hypothèse actuelle, aussi petit qu'on voudra. Il en sera de même, à plus forte raison, de sa corde.

Soit H cette corde ; les longueurs A et H P, interceptées par des arcs parallèles sur deux normales, sont égales. Si je joins le point H à un point M quelconque de l'arc P Y, la droite H M pourra différer aussi peu qu'on voudra de HP, et, par conséquent, de A.

Soit M' une quelconque des positions que le point M peut prendre en tournant autour de PR. Je joins par des droites le point M' aux points et H. H M' est égale à H M, et, par conséquent, pourra différer d'aussi peu qu'on voudra de OA; mais, dans le triangle M' H, cette môme ligne diffère de M' d'une quantité moindre que H, et qui, par conséquent, peut devenir moindre que toute quantité donnée ; donc, la différence entre M' et OA tend vers zéro: ce qui ne peut avoir lieu que si le point M' est sur la surface engendrée par la rotation de A V autour de A X. Ainsi donc, en tournant autour de P R, le point M, qui est quelconque sur l'arc P V, reste sur cette surface ; ce qui démontre la proposition énoncée.

Les^ corollaires suivants résultent immédiatement de ce théorème :

La droite PR est normale au point P à la surface de rayon infini.

Deux normales sont toujours dans un même plan.

Par un point quelconque, on peut toujours mener une normale à une surface de rayon infini, et Ton n'en peut mener qu'une.

Toute section normale (c'est-à-dire faite par un plan contenant une normale) est un arc de rayon infini.

Par deux points, on ne peut faire passer qu'une seule section normale.

Par un point de la surface, on peut toujours mener une section normale coupant à angle droit une section normale donnée, et l'on n'en peut mener qu'une.

42. Deux surfaces de rayon infini dérivées de sphères concentriques seront dites parallèles.

D'après le premier corollaire du numéro précédent, et d'après les propositions énoncées dans le chapitre II, aux numéros 18 et 19, deux surfaces parallèles ont leurs normales communes, et interceptent sur toutes ces normales des longueurs égales.

43. J'appellerai triangle sphérique de rayon infini un contour fermé composé de trois arcs de sections normales.

Les angles d'un tel triangle sont les angles que forment entre eux les plans normaux déterminant les sections.

Remarque. Lorsque deux plans se coupent, leur angle dièdre se mesure par un angle rectiligne, dont le sommet peut être pris en un point quelconque de l'arête. Habituellement on s'appuie sur la théorie des parallèles pour démontrer qu'en tous les points de l'arête, cet angle est le même. On trouvera dans le chapitre complémentaire (n° V) la même proposition démontrée indépendamment de cette théorie.