CHAPITRE III

côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, sont superposables (les deux triangles ne sont pas nécessairement supposés sur une même surface de rayon infini).

Cette proposition se démontrerait sur les triangles de rayon infini, de la même manière que sur les triangles reclilignes.

45. Deux triangles sphériques de rayon infini, qui ont deux angles égaux chacun à chacun, ont leurs côtés proportionnels.

Lorsqu'on admet la théorie des parallèles, la proposition est démontrée ; elle constitue, dans le 3^ livre de Legendre, le premier cas de similitude des triangles rectilignes.

Il reste à faire voir que, telle que je viens de l'énoncer, la proposition peut encore être démontrée, en se plaçant dans rhypothèse où la théorie des parallèles serait inexacte.

Soient ABC, A'B'C (fig.27, pi. IV) les deux triangles proposés, dans lesquels les côtés A B et A' B' sont adjacents aux angles homologues égaux. J6 mène les trois plans normaux qui déterminent \% triangle ABC, et je coupe ces plans suivant L M N par une seconde surface de rayon infini parallèle à celle du triangle ABC. Je pourrai toujours, d'après la formule (a), mener cette surface à une distance telle que ML soit égale à A' B' (n** 20) ; les angles L et M sont égaux aux angles A et B (ch. compl. n® V), et, par suite, aux angles A' et B'; les triangles L MN et A' B' C, ayant un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun, sont donc superposables. De là les égalités A'C = LN, B'C = MN. Les longueurs AL, BM, CN sur les trois normales sont égales; il en résulte, d'après le n® 19, que les côtés AB, A C, BC sont proportionnels aux côtés L M, LN, MN, et, par suite, à A'B', A'C, B'C.

On reconnaît en même temps que l'angle C, égal à l'angle N, est aussi égal à l'angle C.

46. Dans tout triangle sphérique de rayon infini la somme des trois angles est égale à deux angles droits.

En effet, on peut, d'après le numéro précédent, construire un

triangle dont les trois angles soient égaux à ceux d'un triangle proposé quel qu'il soit, et dont les côtés deviennent plus petits que toute longueur donnée. Or, en reproduisant ici le raisonnement déjà exposé dans le chapitre P% au numéro 1, on démontrera que, dans un triangle sphérique infinitésimal de rayon infini, la somme des angles est égale à deux angles droits; il en sera donc de même dans le triangle proposé qui a ses trois angles égaux à ceux d'un triangle infinitésimal.

47. Sur une même surface de rayon infini, deux sections normales qui ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu'on les prolonge, seront dites parallèles.

n résulte du dernier corollaire énoncé au n® 41, que deux sections normales perpendiculaires sur une troisième sont parallèles entre elles.

La méthode que Legendre a suivie pour déduire la théorie des parallèles du théorème relatif à la somme des trois angles d'un triangle est applicable aux sections normales, sur la surface de rayon infini. On peut donc énoncer la proposition suivante, comme corollaire du n° 46.

Deux arcs de sections normales parallèles compris entre sections normales parallèles sont égaux.

Du théorème énoncé au n®45, on déduit, par un raisonnement identique à celui déjà exposé dans le chapitre l^ au n® 13, que dans un triangle sphérique rectangle de rayon infini, le carré du côté opposé à l'angle droit est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

48. Détermination au moyen de deux coordonnées de la position d'un point situé sur une surface donnée de rayon infini.

Je prends pour système de comparaison une section normale uv (fig. 28, pi. IV) menée par un point de la surface. La position d'un point M sur cette surface sera déterminée lorsqu'on connaîtra la longueur de l'arc MP de section normale mené du point M perpendiculaire k uv, la distance P mesurée sur l'arc uv depuis l'origine jusqu'au pied P de la section per-