CHAPITRE III
pendiculaire M P, et le sens dans lequel chacune de ces longueurs doit être portée. La longueur OP affectée du signe + ou du signe — , selon le sens dans lequel elle est comptée à partir du point 0, conservera le nom d'abscisse, et sera généralement représentée par la lettre x; la longueur M P affectée du signe -iou du signe — , selon le sens dans lequel elle est comptée à partir du point P, sera généralement désignée par la lettre y.
49. D'après les théorèmes énoncés aux n«>* 45 et 47, l'équation
générale d'une section normale, dans ce système de coordonnées,
sera de la forme
y = mw + n;
La longueur d s d'un élément linéaire différentiel sur la surface de rayon infini sera donnée par la formulé :
ds^=z da^-i- dy* ,
et la longueur ^ de la section normale qui joint deux points ayant pour coordonnées l'un x^, y^y l'autre x^, t/i, sera donnée par la formule :
On en déduit que la section normale est le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface de rayon infini.
En général, on pourra démontrer sur la section normale, dans la surface de rayon infini, toutes les propriétés dont la ligne droite jouit dans le plan, sans exclure celles de ces propriétés qui reposent sur la théorie des parallèles ; car le même calcul qu'on effectuerait sur l'équation d'une droite en coordonnées rectilignes s'applique aussi bien à la même équation, lorsqu'elle représente une section normale dans le système de coordonnées que j'ai considéré.
Il en résulte, par exemple, que la section normale M P, que j'ai supposée perpendiculaire à i^v est la plus courte qu'on puisse mener du point MàTarci^t;. C'est par cette propriété que je définirai anadytiquement la section perpendiculaire k uv menée par le point M, et, par suite, les coordonnées a? et y de
ce point. Cette définition paraît devoir simplifier les calculs lorsqu'il s'agira d'établir les formules générales de transformation de coordonnées; en effet, on évitera ainsi d'avoir à mesurer des angles par les arcs de circonférence compris entre leurs côtés, ce qui conduirait, selon toute apparence, à des calculs plus compliqués.
50. Détermination de la position d'un point quelconque de Vespace au moyen de trois coordonnées.
Je rapporte tous les points de l'espace à un système de comparaison composé : 1® d'une surface de rayon infini R S (fig. 29, pi. IV); 2° d'une section normale uv de cette surface; 3*^ d'un point pris sur cette section.
Soit MP la normale abaissée d'un point M sur la surface R S, La position du point M sera déterminée si l'on connaît d'une part les coordonnées a? et y du pied P de la normale rapportées à l'arc uv etk l'origine des abscisses, d'autre part la longueur P M et le sens dans lequel elle doit être portée suivant la normale à partir du point P. Cette longueur PM, affectée du signe -h ou du signe — , selon que le point M est situé du côté de la convexité ou du côté de la concavité de la surface, est la troisième coordonnée du point M, a? et j/ étant les deux autres ; je la désignerai habituellement par la lettrées. Je conserve aux coordonnées ainsi définies le nom de coordonnées paramétrales.
51. Différentielle d*un arc de courhe quelconque dans V espace ^ et longueur d*un arc infiniment petit ou fini, en coordonnées paramétrales.
Soit s la longueur de l'arc A M (fig. 30, pi. IV) comptée sur une courbe quelconque à partir du point A de cette courbe, et soit A 5 = M M' ; je désigne par x, y, z les coordonnées Q, QP et PM du point M; par â? H- a â?, y-h- ^y, z 4- a -? les coordonnées OQ', Q'P', P'M' du point M'. Sur la surface de comparaison, je mène l'arc PR parallèle à l'arc uv des abscisses; par le point M, je conçois une surface parallèle à celle de comparaison, qui sera coupée par le plan des deux normales P M, P' M', suivant un arc M N. J'ai, d'après la figure :
