CHAPITRE III

A^-QQ' = PR; A2/=P'll; a^ = M'N.

Le triangle sphérique de rayon infini P R P' étant rectangle enR, on a (n** 47):

W ' = PR' + Fr* = a a?a + Ay« .

z En outre, on a d'après le n** 20 : M N = P P'. e* . De ces deux égalités on tire :

MN' = (Aar» + AyO ^ * •

Je mène les cordes MN et MM', et je suppose que Tare MM' décroisse au delà de toute limite ; Tangle M N M' a pour limite un angle droit, et je peux appliquer le théorème du n** 13 au triangle infinitésimal MM'N dans lequel je peux substituer aux côtés infiniment petits M N et M M' les arcs que ces cordes soustendent (n® 14). J'obtiens ainsi la relation

A «2= MN' + a^«,

ou, en remplaçant M N par sa valeur ,

2 z A «a = (a a?» + Ays ) e + A ;?« ,

ou enfin, en substituant les différentielles aux différences infiniment petites ,

ds^^{dx* + dy*)e + dzi . (A)

Je désignerai souvent, ainsi que j'ai déjà fait dans le chapitre

précédent, l'exponentielle e^ par la lettre t, que j'affecterai d'ailleurs, chaque fois qu'il y aura lieu, des mêmes indices que que la lettre z. La formule {k) devient alors :

dl^

ds^ = (d a;3 -+ dy^ ) i^ + k^ — p . {k')

L'une quelconque des formules {k) ou (V) donnant la différentielle d s, pourra être également employée pour déterminer

la longueur a 5 de l'arc infiniment petit, qui ne diffère de d s que d'une fraction infiniment petite d'elle-même.

Des mêmes formules on tire l'expression de la longueur s d'un arc fini quelconque qui peut être mise sous l'une ou l'autre des deux formes suivantes :

2 1 dy^\ — r— d z^

dx-

J ^ \ ^ dx^ ) i^dx^

Les limites de l'intégration sont déterminées par les deux valeurs de l'abscisse x qui correspondent aux deux extrémités de l'arc.