Équations paramétrales de la ligne droite

Soit M N (fig. 31, pi. IV) un arc quelconque dont les extrémités se projettent aux points A et B, et soit RS l'arc de section normale passant par ces deux projections ; je dis que, si la projection A CB de l'arc MN sur la surface de comparaison ne se confond pas entièrement avec l'arc A B de section normale, il existe de M à N un autre chemin dont la longueur déterminée par la formule (/) est moindre que celle de l'arc proposé.

En effet, soit <r la distance variable comptée suivant l'are A C B d'un point quelconque de cet arc au point A ; les trois coordonnées X, y, z des points de la courbe M N, dont A G B est la projection, seront fonctions des valeurs correspondantes de 9, Soit donc z = («•). Désignant de même par s la distance variable comptée suivant l'arc AS de section normale, d'un point quelconque de cet arc au point A, si j'imagine construit dans le plan de cette section et sur une longueur de projection AB' égale à A G B, l'arc M N' qui aurait pour équation dans son plan Z =: <p {s), la longueur de cet arc déduite de son équation sera la 'même que celle de l'arc MN. D'ailleurs la section normale étant sur la surface de comparaison le plus court chemin d'un point à un autre^ l'arc A B'^ égal à A G B, sera plus grand que A B. En outre.