CHAPITRE III

de la manière môme dont Tare M N' est construit , la normale B' N' est égale à B N. On démontrera dans ce cas facilement par la géométrie plane, mais sans le secours de la théorie des parallèles (et par conséquent on pourra aussi le vérifier au moyen des seules formules paramétrales à deux coordonnées), que dans le" plan R SM la corde MN est plus courte que la corde MN' (1), et par suite plus courte que Tare M N' construit dans ce plan, ou enfin plus courte que l'arc M N. Donc un arc M N qui ne se projette pas entièrement suivant une même section normale , ne peut être le plus court chemin de M à N ; donc ce plus court chemin se projette suivant une section normale, dont l'équation est de la forme y =itnx+ n.

n reste à déterminer le plus court chemin de M à N dans le plan de Tare R S. Or, l'équation pour laquelle l'intégrale

est un minimum, a été établie dans le chapitre II (n^ 26) ; elle est de la forme

Remplaçant s par sa valeur en x et y, j'aurai, d'après la relation ds^= dx^ + dy^, l'équation pour laquelle l'intégrale

yv(

dy^\ k ^ dz^

i + -^--r/ e + '^ — ^ ^ est un minimum.

»«*'' d xt

Or, de l'équation y = ma? -|- n, je tire dy =mdx, d'où

ds^ = K + 1) dx^ , d'où s = a?l^m« + l+G, G désignant une constante arbitraire.

(l) L'arc R s étant symétrique par rapport à la normale élevée sur le milieu de BB'. un rabattement autour de cette normale ferait coïncider B'N' avec B N ; cette normale est donc perpendiculaire sur le milien de la droite N N' ; or, elle laisse le point M du même côté que le point N ; donc M N est plus petit que M N'.

Sijeposet^— GiipPl/'^^iripY^ etv— G == Q S/^^TÎT, il viendra

s — u=:{x—?)y^mF+T et s— v =l {x — Q)i^(m^ + 1)

On tire de là une seconde expression du produit (* — u) {s — v), qui; égalée à la première, fournit entre a? et ^ l'équation

(m'''hl)[x — V)(œ—Q)=: — k^e ^ (m)

Si Ton y joint l'équation entre x et y, déjà établie plus haut

7j zzimx+n (m')

on aura un système propre à représenter le plus court chemin entre deux points quelconques ; ces deux équations sont donc les équations générales d'une ligne droite.

On remarque, sur l'équation (m), que pour que z soit réel, x doit être compris entre P et Q, et que lorsque x, compris entre ces limites, diffère infiniment peu de Tune d'elles, z devient positif et infiniment grand.

53. Si deux points ont pour coordonnées l'un a?,, y,, zi, l'autre ^î, Vi) zty on déterminera les valeurs de P, Q, m, n relatives à la droite qui passe par ces deux points en substituant successivement dans les équations générales les coordonnées de chacun d'eux aux coordonnées courantes. On aura ainsi deux équations du 1** degré pour déterminer m et n; les deux autres équations serviront à déterminer P et Q, dont les deux valeurs s'obtiendront par la résolution d'une équation du 2^ degré (v. chap. II, n<> 27).