CHAPITRE ni

Eliminant H el x entre les équations {\^, (2), (3), on obtient pour l'équation cherchée (v. le développ. des calculs, tableau F):

— k^ ^« = x'2 + y'» — n' (y' + mx'^ — af (m> + 1) (F + Q')

équation de la forme

x'^ + y'» + U a?' + Vy' = — &« <-*.

Si Ton remplace a?' et y' par leurs valeurs x — peet y — B, il vient pour Téquationde la surface proposée, une équation de la forme

a?* + y» + Aa: + By + C = — A* IK (r)

Je dis que la surface représentée par une telle équation contient entièrement toute droite menée par deux de ses points. Soient en effet

les équations d'une droite quelconque. Si cette droite coupe la surface proposée, les coordonnées de l'intersection s'obtiendront en résolvant le système des trois équations (r), (4) et (5). Reportant dans l'équation (r) la valeur d'y donnée par l'équation (4), et égalant les deux valeurs de — k* tr\ données par les équations (r) et (5) après cette substitution, on obtient la relation suivante :

x>-f.(Ax-t-0*+Ax+B(Ax + 0+C=:(A«+i)(x— R)(x— S).

Quand on développe les deux membres, les termes en x^ se détruisent, et il reste une équation du 1"* degré pour déterminer x . Mais si deux valeurs de œ satisfont à une telle équation, toutes les valeurs y satisferont, c'est-à-dire que si la droite a deux points communs avec la surface, elle y sera située entièrement. L'équation (r) est donc l'équation d'un plan; cette équation est d'ailleurs générale, car on peut disposer de A, B et G de manière à faire passer le plan qu'elle représente par trois points donnés quelconques.

59. Equation générale des plajis normaux à tme surface de rayon infini.

Soit une surface de rayon infini quelconque ; elle peut être considérée comme dérivée d'une sphère dont le centre s'éloigne au delà de toute limite sur la normale N N' à la surface de comparaison élevée en un certain point N, qui a pour coordonnées sur cette surface » ei& {jï" 57), L'équation de la surface de rayon infini sera de la forme :

(aj — «)a + — i8)î = k^ r-2 Ç — i\

Les plans normaux sont ceux qui rencontrent NN' à l'infini ; ils ont donc pour équation générale l'équation :

(x — «)» + (y — /8)« + A (a? — «) + B (y — i8) = — Af2 f-, (5)

dans laquelle les longueurs A et B sont des constantes arbitraires.

60. Une surface de rayon infini étant représentée par l'équation

une normale quelconque pourra être représentée par les équations

(m^ + O (x^Xo) (x -F) = - feî ^2 ^ (-3)

dans lesquelles m et P sont arbitraires ;

et un plan normal quelconque par l'équation

(a? - Xoy + (y - yo)* + A (x-Xo^ + B (y— yo) = — ft» i'^ , (4)

dans laquelle A et B sont arbitraires.

(m^ + 1) a? (a? — P) = — /fc* i-^ (7)

.'K' + .y' + A ar -f- B y = — /c^ i-^ (8)