CHAPITRE III
Si dans ces quatre dernières on remplace x par x — j-o , y par y — t/c et P parP — x^, on retombe sur les équations générales. Donc toute relation qui serait déduite des équations (5), (6), (7), (8), deviendra générale lorsqu'on y changera rr en a? — x^, y en y — yo> ©t P en P — a?o.
Dans les calculs suivants, je prendrai les équations de la surface de rayon infini, de ses normales et de ses plans normaux sous les formes particulières des équations (5), (6), (7) et 8 ; il sera toujours facile de passer de résultats particuliers fournis par ces équations à des résultats généraux.
61. Coordonnées d/u point de rencontre de deux sections normales d'v/ne même surface de rayon infini. Sections normales parallèles.
D'après la remarque du numéro précédent, je prendrai Téquatîon de la surface de rayon infini sous la forme :
a:» + y« = jk« (« ( i) (i)
Soient :
«« + y* + A ap + By = — A;* /-* (2)
et * aî»4-y«4-pa? + îy = — AîM» (3)
les équations de deux plans normaux.
Les coordonnées a?, y, z du point où ces deux sections se rencontrent, s'obtiendront en résolvant le système des équations
(1), (2), (3) par rapport à a?, à y, et à ^ qui représente la fonction
e * . La résolution conduit aux valeurs suivantes (v. le développ. des calculs, tableau G) :
ar= fe'(B-g)(Ag-Bp)
ft»[(B-ç)« + 0-A)«]-f-,»CA?-Bp)» '
,, A'(p-A)(Ag-Bp)
»- ft'[(B-9)' + Cp-A)"]-hf»(A?-Bp)» ' ^^
*' C(B--?)' + (P- A)' ] + f' (A g - Bpy ' - f (A 9 - Bp)» • ^ •'
t est toujours positif^ et par conséquent z est toujours réel ; mais il devient infini lorsque kq est égal à Bjo. Dans ce cas, les deux sections sont parallèles. Dans tout autre cas, les valeurs de X, de y et de -2: sont finies, et il y a rencontre.
La condition A 5^ =i Bpdu parallélisme peut s'écrire —= -^
Ainsi, dans les équations représentant les plans de deux sections normales parallèles, les coefficients des termes du premier degré en a? et en y sont proportionnels.
62. Soit M N (fig..33, pi. V) la section dont le plan est représenté par réquation (2) du n° 61, et RS celle dont le plan est représenté par l'équation (3). Je suppo'se que les deux sections se rencontrant, la première reste fixe et la seconde se déplace parallèlement à elle-même de R S en R' S' ; les coefficients A et B dans l'équation (2) resteront constants; dans l'équation (3) les coefficients p ei g varieront en conservant entre eux le même rapport.
Soient donc q = x p, x étant une constante.
L'intersection U se déplace suivant un arc UD' de la section MN, et les formules (4), (5), (6) du n° 61 donneront, si Ton y remplace q par sa valeur x p, les coordonnées des difi'érents points de l'arc UU' en fonction de la variable p. Si donc je désigne par j9i et p^ les valeurs de p correspondantes aux sections RS et R'S', la longueur l de l'arc UU', qu'il importe pour la suite de connaître, se déterminera au moyen de la formule :
dp* "" V dp^ dp^ ) t^ dp^'
ou
dl^
dp^ dp^y i^dp-
dp.
Je pose :
k^ [(A-p>4-(B — xp)2 J +f2(;Ax — B>p2=:D.
Les valeurs de x, de 1/ et de ^ établies au numéro 61 peuvent
. CUAPITBE m. 57
se mettre, eu égard à la relation g = xp, sous les formes suivantes:
k' (B — xp)(Ax — B)p
Soit D' =
jfl f (A X — B> • dD
dp
= -'ik*\ k—p + X CB— '^P)] -<- 2 f'p(Àx-B)».
n vient:
<«'» u»ri ^. D(B-2xp)-P'(B-xp)p — =À^(Ax-B) g5 ,
''y - wrA. p. P(A-2p)-D'(A -p)p df ( 1 D' p» — 2 p D
d'où
dp ~ f(Ax-B)» ■ p*
dl Dp— 2D
Idp p D
, d X , dy , , d t Si l'on porte les valeurs de t, de — — , de -^ et de yj-
dans l'expression de -^-^ et qu'on remplace D et D' par leurs
valeurs (voir le développement des calculs, tableau Hj, il vient toute réduction faite :
, d/ -f. k^ '/a» + B« .4- /''^M/am-vB!
^'"""d7="p«KAx-B) '^"^— y P»f(Ax-B)'
d'où enfin:
58 ÉTUDES ANALYTIQUES SUR LA TfflEORIE DES PARALLÈLES.
Soit B = M A, il vient :
f (X — /t) V Pa Pi /
formule dans laquelle on retrouve ce théorème que les arcs parallèles de sections normales compris entre sections normales parallèles sont égaux.
63. Si, po et pi étant constants, c'est-à-dire les arcs RS et R' S' étant fixes, je fais varier fi,^ce qui revient, sur la figure du numéro précédent, à faire tourner M N, par exemple autour du point U, la longueur l de Tare DU' variera. Pour déterminer son minimum h, j'égale à zéro la dérivée de /, en considérant m comme seule variable, ce qui donne l'équation :
fJL (x — m)
1/ l-hM*
"+" l^i -H /it* = , ou M X + 1 = O9
d'où M = — x"*«
La longueur minimum h s'obtiendra en portant cette valeur de M- dans la formule {t). D vient alors :
Le plan de la section M N a dans ce cas une équation de la
forme :
a?» + y* + Aar — Ax"*y=: — AM».
Cette section jouit de la propriété d'être la plus courte de toutes celles qu'on peut mener d*un quelconque de ses points à la section R'S', ou à une section quelconque parallèle à RS. Donc, conformément à la définition donnée au n*" 49, MN est perpendiculaire à toute section parallèle à R S ; réciproquement RS est perpendiculaire à toute section parallèle à MN.
64 . Soit X« + Y» = ftî T-2 /— — 4 j l'équation d'une surface
CHAPITtElII. 5d
de rayon infini (v. n^ 60) et Xî + Y« +p X + x Y = — K« T» Téquation d'un plan coupant la surface suivant une section normale R S (flg. 34, pi. V). Il sera facile d'écrire l'équation du plan qui, passant par un point P quelconque de l'espace dont les coordonnées sont u, B, y, coupe la surface de rayon infini suivant une seconde section normale perpendiculaire à la première.
Cette équation sera, en effet, d'après ce qui précède, de la forme:
«* + y* +Ax — Ax-*y= — jfc> i'\
Elle devra être satisfaite par les coordonnées «, Q, y ; on devra
y donc avoir, en posant e * = ^ ,
«' + iS* + A « — A x-« /î != - /k« K
d'oîi A — — ^^ + ^' («' H" iSM
L'équation du plan de la section perpendiculaire à R S est donc :
JTai pris l'équation de la surface de rayon infini sous une forme particulière. Pour résoudre le même problème d'une manière générale, il suffira, d'après la remarque du n** 60, de remplacer dans les données et dans l'équation [v) x, y, « et 5 par
^ — ^0» y — ^ yo> « — fl^o et S — Vo-
65. Soit un point Q situé sur l'arc MN perpendiculaire à R S, et dont les coordonnées sont «i, Qi, y* ; le calcul précédent, si l'on y remplace partout — x-« par x, conduira à l'équation du plan de la section R'S' menée par ce point parallèle à RS. Cette équation sera donc la suivante :
dans laquelle et représente l'expression e *
La longueur l de Tare NQ, perpendiculaire à R S et compris entre RS et R' S' sera donc, d'après la formule {u) :
66. Remarque. Si le point Q est le pied de la normale menée par le point P, le point P est situé dans le plan de la section R' S' ; ses coordonnées doivent donc satisfaire à Téquation de ce plan. On en déduit Tégalité suivante :
Si je substitue dans la formule {w) la première de ces deux quantités à la seconde, il vient :
fonnule qui donne la longueur ^ ou Q N en fonction des coordonnées du point P.
une
