CHAPITRE PREMIER

De quelques propriétés des ilf ures Inflnltéslmales.

Nota. Plusieurs des théorèmes qui suivent se démontrent sur dos figures quelconques au moyen de la théorie des parallèles ; mais comme il ne doit être fait ici aucun usasse de cette théorie, j'ai dû recourir à d'autres modes de démonstration, qui ne sont applicables qu'aux figures infiniment petites : on ne devra donc, dans la suite, considérer ces théorèmes comme démontrés que pour de telles figures.

Je renvoie au chapitre complémentaire (n*' II à IX) pour la démonstration de l'existence du plan, la détermination de la longueur d'un arc de courbe quelconque, et quelques propriétés générales de la tangente.

1. La somme des trois angles d'un triangle infinitésimal abc est, à la limite, égale à deux angles droits.

Je supposerai pour plus de simplicité Tangle a constant en grandeur et de position invariable. Soit BG la direction limite du côté hc (fig. 1, pi. I). Je prolonge les côtés 6a et c a suivant ai' et ac*; les angles & et c ont pour limites les angles Gab' et B ac\ Si j'y ajoute Taugle b'ac' égal à l'angle a du triangle, auquel il est opposé par le sommet, j'obtiens trois angles dont la somme vaut deux angles droits, cl qui ne sont autres que les

limites des trois angles du triangle ; ce qui démontre la proposition énoncée.

La même forme de raisonnement s'appliquerait au cas où l'angle a varierait en grandeur ou en position.

Corollaire : si deux angles d'un triangle sont finis, leurs suppléments le sont aussi.

2. Lemme I. Soit A l'angle compris entre les côtés A B et AC d'un triangle quelconque ABC, et n un nombre entier, tel que n A soit au moins égal à deux angles droits, le rapport de Tun quelconque des côtés A B ou A G au troisième B G est moindre que n.

Pour le démontrer, je rabats le triangle ABC (fig. 2, pi. I) sur son plan en AB' G, en le faisant tourner autour de A G comme charnière. Je rabats de même AB'G en AB'C', en le faisant tourner autour de AB', et je répète cette construction jusqu'à ce que j'aie formé, autour du point A, n triangles adjacents égaux entre eux ; n A étant au moins égal à deux angles droits, le contour polygonal formé par les côtés B G, GB'..., dont le périmètre est BG X n, aboutira au prolongement de AB, ou coupera ce prolongement en un point D. La droite DB, et à plus forte raison la droite A B qui n'en est qu'une partie, est plus petite que le contour polygonal limité au point D, et par suite plus

petite que BG x n. Donc le rapport TT-jr est plus petit que n.

On démontrerait de la même manière l'inégalité -^-z^ < n.

3. Lemme IL Le rapport d'une circonférence infiniment petite à son rayon est fini.

Pour le démontrer, à l'extrémité d'un rayon A delà circonférence infinitésimale (fig. 3. pi. I), je mène la tangente AB égale à ce rayon, et je joins l'extrémité B de la tangente au centre 0. Le triangle infinitésimal OABest rectangle etisoscèle. D'après la proposition du n** 1, l'angle en sera à la limite égal à la moitié d'un angle droit, et l'arc A G, qu'il intercepte entre