CHAPITRE PREMIER

ses côtés, égal au huitième de la circonférence. Cet arc est moindre que la tangente AB (chap. comp. n° VII), ou que le rayon A. Donc la circonférence infinitésimale est moindre que 8 fois le rayon. D'autre part, la demi-circonférence est plus grande que le diamètre, et par suite la circonférence entière est plus grande que le double de ce diamètre, ou que 4 fois le rayon. Le rapjport de la circonférence infiniment petite à son rayon est donc compris entre 4 et 8 ; donc ce rapport est fini,

4. Si dans un triangle infinitésimal les trois angles sont finis, le rapport de deux côtés quelconques est fini.

Ce théorème résulte immédiatement an lemme I.

5. Si, dans un triangle infinitésimal ABC, deux angles Aet B sont finis, et le troisième C infiniment petit, le rapport du côté A B à chacun des deux autres est infiniment petit.

Soit B G le plus petit des deux côtés comprenant l'angle infiniment petit (fig. 4, pi. I). J'imagine décrit du point C comme centre avec le rayon C B un are B D de circonférence compris entre les côtés de cet angle. La circonférence entière a un rapport fini avec son rayon G B, et l'arc BD est une fraction infiniment petite de cette circonférence. Donc le rapport ^^ ,et

à plus forte raison le rapport — — - — , est infiniment petit.

D'un autre côté, l'angle A étant fini, le rapport -^ ne peut

.«.,r rv. AB.,ABBD

être infini (Lemme I). Le rapport fng^ ^S^I ^ g^* • fû* est

donc le produit de deux facteurs dont l'un est infiniment petit, et dont l'autre ne peut être infini ; donc ce rapport, et à plus

forte raison aussi le rapport — -, est infiniment petit.

A Ci

GoroUaire I. — Un côté d'un triangle étant plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence, le rapport entre les côtés comprenant l'angle infiniment petit, a pour limite l'unité.

Corollaire II. — Si dans un triangle infinitésimal ABC, l'angle A étant fini et ayant un supplément fini est compris entre deux côtés A B et A G du même ordre de grandeur, les deux autres angles B et G sont finis.

En effet, 1** si les angles B et G étaient infiniment petits tous deux, le supplément de Tangle A, qui à la limite est égal à la somme B + G (n® 1), serait infiniment petit ; S"* si l'angle G, par

exemple, était seul infiniment petit, le rapport j-r; le serait

aussi. Dans les deux hypothèses, la conséquence serait contraire aux conditions de l'énoncé : donc les deux angles B et G sont

finis.

6. Réciproquement, si dans un triangle infinitésimal ABG le rapport d'un côté AB à l'un des deux autres, A G par exemple, est infiniment petit, l'angle G opposé à AB l'est aussi.

En effet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait prendre un nombre entier n assez grand pour que n G soit au moins égal à deux angles droits. On aurait alors, d'après le lemme I (n"* 2),

l'inégalité --- < n, d'où - — > — , et par suite ce dernier rap-

port ne serait pas infiniment petit, comme l'énoncé le suppose.

7. Si dans un triangle infinitésimal rectangle les deux angles aigus sont finis, le rapport de l'hypoténuse à l'un quelconque des côtés de l'angle droit surpasse l'unité d'une quantité finie.

Soit le triangle infinitésimal ABG, rectangle en A (fig* 5, pi. 1). A partir du point G je prends sur l'hypoténuse une longueur G D égale à A G. Le triangle A D G étant isoscèle, les angles D A G et AD G sont égaux ; et j'ai, à la limite, la relation : angle D A G -fangle ADG = 2^' — G. Les deux angles dont la somme forme le premier membre étant égaux, on a, en divisant les deux membres par 2 :

Angle D A G = 1^^ — ~, ou 1^^ — angle D AG = — -, ou enfin

angle B AD = ~. On en déduit que les trois angles du triangle