CHAPITRE III
Par le point M je mène la droite M P normale à la surface S', et par son pied sur cette surface je mène la section normale PQ perpendiculaire à u^v\ Les coordonnées x\y\ z' du point M dans le second système sont représentées sur la figure par les lignesO'Q, QPetPM.
Soient X,, Yi, Z, les coordonnées du point P ; X», Y», Zs celles (lu point Q dans le premier système. Je pose
e z=t; e = T,; e =T, ; e = et e =r.
La formule (y), appliquée à la distance PM, donne immédiatement :
La formule [iv') appliquée à Tare P Q mené perpendiculairement à u' v' par le pied de la normale M P donne :
Enfin, d'après la formule {v), le plan mené par le point M, et qui détermine sur la surface S' la section P Q perpendiculaire à u* v\ a pour équation :
et si j'applique la formule (w) à'i'arc O'Q passant par 0' et perpendiculaire à P Q, il vient :
'VÏ
ou
Dans les formules (^r), (z'), (2:"), les constantes u, /3, y, R, /" et ^ sont liées entre elles par les relations :
A« -h B» = /k» ©-« (^ ^ — 1 ) A*-4-B2 + RA+/-RB = — A;«0-*,
que fournissent les deux équations de Tare v! v'.
Ces formules ont été établies en supposant à l'équation de la nouvelle surface de comparaison la forme particulière ;
X« + Y« = A;« T-» i h\ Dans le cas le plus général, cette
équation sera de la forme :
(X - rro)» + {Y-yo)»=: &*T-« (-1- - 1 ).
L'équation du plan qui contient la section v!^\ sera de la forme :
et les formules de transformation dans le cas général se déduiront, d'après la remarque du n"* 60, des formules précédentes en y remplaçant x, y, », g, œ\ y' par w — œo,y — yo, « — Xo,
k — yo, x' — xo, y'— î/o-
Les formules (z), {z^), (^"), résolues par rapport à x, y, t, conservent une forme semblable.
69. Pour suivre la même marche que dans le chapitre précédent, on a maintenant à vérifier si la transformation de coordonnées ne peut pas altérer la longueur des éléments linéaires, lorsque le paramètre k est supposé fini.
La longueur d'un élément infinitésimal se tire de la formule
d$^^[dx'^+ %*)<« + A;' -j— (n*51). Après la transformation,
elle se tirera de la formule ds'^ •= [dx'^ + dy'^ )t'^ + li ^V' il s'agit donc de constater si l'on a toujours :
