CHAPITRE III

Si cette égalité est une conséquence des formules {z), (z*), (z'X elle sera aussi une conséquence des formules générales qui se déduisent de celles-ci, lorsqu'on y remplace x, y, œ', y' par X — Xo, y — j/o, a>* — Xo, y — yo, et u, Q par ac — Xa, B — î^o; car cette substitution ne modifie pas les difTérentielles dx, dy, dx\ dy\ Il suffît donc de constater que cette égalUé résulte des formules [z), (2'), (2:") pour démontrer qu'elle est générale.

Ces formules peuvent s'écrire, les lettres o et c' désignant des constantes : '

En comparant les deux premières égalités à la troisième, on obtient les deux suivantes :

l fx-^y

i x+fy

En diffërentiant ces deux égalités et en multipliant après la diffërentiation les deux membres de chacune par t\ on a :

^^ , if^-y) [idt^tdn + ttifdx ^dy) r ax zz

et

<'dy'= ^' , dzz ■ •

Si l'on substitue ces expressions à t'dx' et à t' dy' dans le

premier membre de l'égalité à vérifier, et qu'on y remplace —7—

par sa valeur déduite de réquation (3), il vient, toute réduction faite (voir le développ. des calculs, tableau J) :

(^ {d x'^ -h d y'^) -^ k^ -^ z=:t^(dx^ -hdy^)'¥-k^ —L ,

ou ds*^ = ds^.

D'où il suit qu'une transformation de coordonnées ne peut changer la valeur des éléments linéaires. D'ailleurs la mesure des angles, celle des superficies planes ou courbes, celle des volumes (chap, compl. n^" XI, XVI et XVIII), et par suite aussi celle de toutes les grandeurs qu'on peut avoir à considérer dans une figure, se ramène à la mesure d'éléments linéaires. Quelles que soient donc les grandeurs qu'on puisse avoir à considérer, le calcul analytique leur assignera toujours la même valeur après une transformation quelconque de coordonnées qu'avant, et les résultats resteront toujours indépendants du système de comparaison, quelque hypothèse qu'on fasse sur le paramètre absolu k.