CHAPITRE III

L s'applique exactement sur une droite L', quelle qu'elle soit, menée par le point P'. En outre, si la figure ne se réduit pas à la seule droite L, elle pourra changer de lieu dans l'espace, en tournant autour de deux points fixes pris sur cette ligne, et ce mouvement de rotation pourra être continué indéfiniment.

2° Par deux points on ne peut faire passer qu'une seule ligne droite.

3** Le lieu des points, dont les distances à deux points fixes sont constantes, est une courbe fermée unique, en dehors de laquelle aucun point de l'espace ne fait partie du lieu.

Je constaterai d'abord que les deux derniers de ces trois principes sont toujours vérifiés par les formules.

La ligne déterminée analytiquement par la condition d'être le plus court chemin d'un point à un autre, est unique dans un système de comparaison donné. Si l'on change ce système, la transformation de coordonnées n'altérant la mesure d'aucun élément, la même ligne continuera, d'après son équation, à jouir de la même propriété, et sera la seule qui puisse en jouir, à quelque système qu'elle soit rapportée. Le deuxième principe est donc vérifié par les formules.

Je passe maintenant au troisième principe, et je fais remarquer que, s'il est vérifié dans un système particulier de comparaison, il le sera (n® 69) dans un «ystème quelconque.

Je supposerai les deux points fixes situés sur la normale menée par l'origine à la surface de comparaison. Le lieu étant l'intersection de deux sphères, pourra être représenté par deux équations de la forme des suivantes :

desquelles on tire :

En effectuant les produits et retranchant le terme — com-

mun aux deux membres, il reste pour déterminer — une équa-

tion du premier degré. Donc t n'est susceptible cpie d'une seule , valeur; si je le suppose égal à 1 pour un point de l'intersection, c'est-à-dire si je suppose ce point sur la surface de comparaison, t sera égal à 1 pour tous les points, et l'intersection sera toute entière située sur cette même surface de comparaison. Son équation sera de la forme :

a?' + 2/* = constante.

Elle se discuterait, comme l'éqiïation du cercle, en coordonnées rectilignes rectangulaires ; elle représente donc une courbe fermée unique, et ne peut être satisfaite par les coordonnées d'aucun point isolé. Les formules vérifient donc le troisième principe.

Il ne reste plus maintenant qu'à s'assurer si les mêmes formules vérifient aussi, dans toutes ses applications, le premier . principe énoncé. Cet examen nécessite quelques développements qui ont déjà été exposés une première fois (n** 36), mais que je crois bon de reproduire ici :

Il n'y a lieu de faire usage du premier principe dans une démonstration géométrique, qu'au seul cas où, ayant deux figures à considérer, on déplace l'une d'elles pour changer sa position relativement à l'autre (les deux figures peuvent quelquefois coïncider l'une avec l'autre et n'en faire qu'une seule, qu'on dédouble par la pensée). Je peux toujours introduire dans la démonstration, sans la modifier en rien, la considération d'un système de comparaison auquel je rapporte les deux figures pour fixer leur position relative, et supposer que l'une des figures, lorsqu'on la déplace, entraîne avec elle le système de comparaison dans une position différente de la première. Ce n'est qu'après ce déplacement qu'on peut tirer quelque conséquence du premier principe, en comparant les éléments des deux figures dans leur nouvelle position. Jusque-là le raisonnement, qui ne s'est appuyé que sur les deux autres principes, a pu être reproduit directement sur les formules. Mais le déplacement une fois effectué, les expressions analytiques des divers éléments dans les deux