CHAPITRE III

figures, se rapportant à deux systèmes différents, ne sont pas comparables ; pour les rendre telles, il faut ramener à sa position première le système de comparaison auquel est rapportée la figure qui a changé de lieu dans Tespace, et effectuer, sur les formules relatives à cette figure, une transformation de coordonnées. On introduira ainsi des constantes dont la valeur se déterminera par les conditions qui définissent la nouvelle position de la figure déplacée. Alors, au lieu de s'appuyer sur le premier principe, comme on le ferait dans la démonstration géométrique, pour établir quelque relation entre les éléments des deux figures, on pourra s'appuyer sur ce principe déjà démontré, et qui a ici le même sens, que la transformation des coordonnées n'a altéré l'expression d'aucun élément. A un tour de raisonnement géométrique, on substituera ainsi un artifice* de calcul équivalent, qui conduira identiquement aux mêmes résultats. On reconnaîtra, par un raisonnement analogue à celui du n«» 39, que cet artifice est toujours praticable.

En résumé, l'emploi des trois principes que j'ai énoncés ne donnera jamais que des résultats qu'on peut tirer directement des formules, par de simples opérations de calcul. Or, d'une part, ces trois principes, comprenant en eux-mêmes tous les axiomes géométriques autres que le postulatum, peuvent leur être substitués; d'autre part, on sait déjà qu'on ne peut tirer dès formules paramétrâtes seules aucune démonstration du postulatum d'Euclide. De là cette conclusion que :

Le postulatum d'Euclide rCest pas une conséquence des a/utres aximnes de la géométrie.