CHAPITRE PREMIER

BAD sont finis; d'où il résulte que BD est du môme ordre de grandeur que AB, et, par conséquent, aussi que A G. Donc la

r •. A ,^^ BC — AC , o .

limite du rapport j-z ou — — — est finie.

Un raisonnement semblable prouverait qu'il en est de même du rapport — . De là résulte la proposition énoncée.

8. Dans tout triangle infinitésimal dont les trois angles sont finis, le rapport d'un côté à la somme des deux autres diffère de l'unité d'une quantité finie.

Il suffit, pour ramener cette proposition à la précédente, de projeter orthogonalement les deux derniers côtés sur le premier.

9. Lorsqu'il y a lieu d'établir une comparaison entre les éléments (angles ou côtés) de deux triangles, les éléments à comparer seront dits homologues, qv^el que soit d'ailleurs le résultat de la comparaison. Toutefois, l'emploi de cette expression supposera toujours que les côtés homologues sont adjacents aux angles homologues.

10. Si dans deux triangles infinitésimaux ABC, A'B'C (fig. 6, pi. I), dont tous les angles sont finis, deux côtés homologues A B et A' B' ont entre eux un rapport tendant vers un, et sont adjacents à des angles homologues dont les limites sont les mêmes, le rapport de deux éléments homologues quelconques a pour limite l'unité.

Je prends à partir du point A sur le côté AB, prolongé s'il est nécessaire, une longueur A D égale à A' B', et sur A D, du même côté que le triangle ABC, je construis le triangle ADE égal à A'B'C.

D'après le théorème énoncé au n® 4, les trois côtés des deux triangles sont, dans l'hypothèse actuelle, des infiniment petits du même ordre, soit du premier ordre.

Je mène la droite EB, et je dis que les éléments du triangle AED ne seront altérés que d'une fraction infiniment petite d'eux-mêmes, si je leur substitue ceux du triangle AEB. En

effet, DB étant la différence entre deux infiniment petits du premier ordre dont le rapport tend vers un par hypothèse, est au moins du second ordre ; d'où il suit que Tangle E du triangle DEB.est infiniment petit (n® 6). On a donc, en appliquant au triangle E D B les théorèmes énoncés aux n°^ 1 et 5 : 1« lim. angle A E D = lim. angle A E B ; 2« lim. angle E D A =

lim. angle EBA; 3** lim. :=r^ = 1.

Je prolonge AE jusqu'à sa rencontre en F avec C B, et je dis que les éléments du triangle AEB ne seront altérés que d'une fraction infiniment petite d'eux-mêmes, si je leur substitue ceux du triangle A F B. En effet, l'angle FBA par hypothèse, et l'angle EBA d'après une des conclusions du paragraphe précédent, ont môme limite que l'angle EDA; leur différence F B E est, par conséquent, infiniment petite, et le côté EF du triangle E F B est un infiniment petit du second ordre au moins, les deux