Aire du cercle
En décomposant la surface du cercle en éléments infiniment petits par des circonférences concentriques , on a de suite (v. chap, compl. n® XIII) la formule :
cercle
R = /cire. R d R = * k/ \e* — e */ d R.
d'où :
cercle R = ^r k* y^k ^^ *2/-
77, Aire d'un secteur de cercle.
Soit R le rayon d'une circonférence, a la longueur d'un arc, S Taire du secteur compris entre cet arc et les rayons aboutissant à ses extrémités. On a
cire. R
; d'où :
"" cercle U
le
-, cercle R
b = a — : — — — = a fc cire, R
Si le rayon est infini, l'expression de S se réduit à a A. Donc l'aire d'un secteur de rayon infini compris entre les normales menées par les deux extrémités d'un arc de longueur finie est elle-même finie et déterminée.
78. Je me reporte à la construction décrite au n** 75 (fig. 37, pi. V), D'après ce qui vient d'être démontré, Taire de chacun des secteurs AOPM, BOQN sera égale à ib x P.
La somme de ces deux seêteurs, égale à 2 A x OP, se compose de Taire comprise elntre les droites A, OB et MN plus de Taire OPQ. Or, Taire OPQ est moindre que celle du triangle Opq construit en menant par le point des tangentes aux deux arcs P et Q. Lorsque le point est infiniment voisin de M N, ce triangle, dont les trois côtés sont infiniment petits, a pour mesure (chap. compl. n® XII) la moitié du produit de sa base p q par sa hauteur. La hauteur est de même ordre de grandeur queOP; la base y g, opposée à un angle infiniment petit, est d'un ordre supérieur ; Taire du triangle, et à plus forte raison Taîïe OPQ, est donc négligeable auprès de Taire 2 A; x OP. Donc, lorsque le point est infiniment voisin de M N, Taire comprise entre les droites A, B et M N peut être représentée par l'expression 2 A; x P , ou , d'après Tégalité
angle B A' = — 7 — (n** 75 , remarque) , par Texpressîon /c* X angle BOA'.
79. Soit AB (fig. 38, pi. V) un arc de rayon infini, et soient AL et B M les normales aux deux extrémités de cet arc, que je supposerai prolongées indéfiniment du côté de la concavité. J'appellerai S Taire du secteur L ABM. Je mène un arc a 6 parallèle à A B et compris entre les mêmes normales ; soit s Taire du secteur LaôM. L'arc ab, auquel cette aire est proportionnelle (n® 77), pourra être mené à une distance de A B assez grande pour que s soit moindre qu'une aire donnée «•, quelque petite qu'elle soit. Soit sur aL un point P quelconque que je joins par une ligne droite au point B, et soit c Tintersection de c^tte droite avec Tare ah. Le point P pourra être pris assez éloigné sur la droite indéfinie ah pour que Taire de la figure B fcc, dans laquelle Tangle en B tend vers zéro (n*** 16 et 17), soit plus petite qu'un aire donnée quelconque «•'. Or Taire PAB diffère de S d'une quantité plus petite que 5-+- aire B6c, et à plus forte raison plus petite que «•+•«•'; mais la somme «• + «•' peut devenir plus petite que toute quantité donnée; donc Taire PAB a pour limite S.
