Aire du triangle

Legendre a indiqué, dans ses Eléments de Géométrie (livre 1% prop. XIX) une construction par laquelle on peut former une suite indéfinie de triangles ayant même somme d'angles U et même surface T qu'un triangle donné quelconque. Dans ces triangles, deux angles tendent vers zéro, et par conséquent, le troisième a pour limite U. Si la hauteur abaissée du sommet de ce dernier angle sur le côté opposé tend vers zéro, on est en droit de conclure avec Legendre que la somme U est égale à deux angles droits, d'où résulte toute la théorie des parallèles; mais dans l'hypothèse de la géométrie imaginaire, cette hauteur a une limite finie que je désignerai par h,

La figure du numéro précédent (fig. 38, pi. V) peut être construite en partant de la longueur H B, comptée sur une perpendiculaire à LL'.à partir de son pied, et que je supposerai ici égale à h. D'après les conclusions de ce "même numéro, l'aire T est égale à l'aire comprise entre les droites L L', B M et B N et l'angle U est égal à l'angle M B N. De plus, la hauteur h ne changera pas si au triangle proposé on en substitue un autre quelconque équivalent ; car si cette hauteur venait à changer,

Taire deviendrait ou plus grande ou plus petite que T. Donc aussi Tangle U restera le môme ; ce qui démontre que deux triangles équivalents ont même somme d'angles.

Réciproquement, deux triangles qui ont une même somme d'angles U sont équivaleûts. En effet, je pourrai construire la même figure en partant de l'angle M B N, que je ferai égal à U, menant par le sommet B les arcs de rayon infini B A et B A' normaux aux deux côtés de cet angle, et traçant la droite LL' normale aux deux arcs. Ces arcs n'ont qu'une normale commune (n** 33) ; donc l'angle MB N étant donné égal à U, la hauteur B H ne peut avoir qu'une seule valeur. Il en résulte que l'aire d'un triangle est déterminée par la somme de ses angles, et que si dans deux triangles cette somme est la même, les deux triangles sont équivalents.

Gela posé, soient deux triangles dont je désignerai les surfaces par T et T' ; soit ;r — g la somme des angles du premier, ^ — i

la somme des angles du second, et soit — - = — -, m et w'

étant deux nombres entiers.

Je divise le triangle T en m triangles équivalents par des droites issues d'un même sommet. La somme des angles de ces m triangles sera ît — g + (m — 1) ^ ou m^r — g ; les triangles, étant équivalents, ont tous une même somme d'angles, qui sera

égale, par conséquent, à ^ .

Je divise de même le triangle T' en m' triangles équivalents,

dans chacun desquels la somme des angles sera tc ^ ; par

hypothèse ona -^ = — ;- ; donc les triangles partiels dont se

composent les aires T et T' ont tous même somme d'angles, et par suite sont équivalents entre eux. L'aire T contient m de ces

triangles ; l'aire T' en contient m' ; on a donc -^ = — y = — r •

Cette égalité, démontrée ici dans le cas ou g et g' ont une commune mesure, se démontrerait ensuite sans aucune difficulté,