Formules générales de trigonométrie rectilig^ie

Soit un triangle ABC quelconque (Qg. 39, pi. V) ; je désignerai

par a, 6, c les côtés opposés aux angles A, B, G, et par », B, y les

abc

exponentielles e^ , e ^ , e^ .Je donne au côté b un accroissement infiniment petit db représenté sur la figure par G G', et je mène la droite B C. L'angle A et le côté c restant constants, les autres éléments du triangle sont des fonctions de hy et si du point B comme centre, avec a pour rayon, je décris Tare CD compris dans Tangle GBC, j'ai:

G'D =da; angle GBG' = dB,

et angle B G A — angle B G' A = — dG.

L'aire du triangle B G G' aura donc pour expression

— k^ (dC -f^dB). Celle du secteur GBD est — — cercle a, ou

/f* («+«-*— 2 ] — ^ . Le rapport de ces deux aires tend vers un quand G G' tend vers zéro (1) ; on a donc :

c/ G 4- rf B = — ( a + «-* - - 2) — ,

d'où

rfB . d G

D'un autre côté, Tare G D étant infiniment petit, il existe entre les longueurs G G', GD, G'D les mômes relations qu'entre les trois côtés d'un triangle rectangle infinitésimal ; on a donc, en remplaçant l'angle G' par l'angle G dont il difi'ère infiniment peu :

. p CD p CI) ^ ^ CD

sm G — -TTTT ; cos G = -TT^ ; tg G —

ce ^ ce ' ^ Cl) *

D'ailleurs G D = — — cire, a ^ k (««-*) — — ; de plus

CC' = di = fc4r- . etG'D= (/a= -^-^ .On a donc:

sm G = («-«-) -^^, (2)

COS. G = -i4^ , i'3)

u de

(1) En effet, la différence entre l'aire BCC et l'aire CBD est égale à l'aire du trianigle CDC formé en menant la corde C D, moins l'aire comprise entre l'arc C D et sa corde; or, l'aire du triangle infinitésimal G D G', dont la base est D C' et à la hanteur dnquel on peut substituer Tare G D , a pour mesure

dB (ch. compl. n* XU) D G' X G D , ou da — • cire. a. Cette aire est négligeable

dB auprès de l'aire CBD égale à "j^ cercle a. Donc aussi la différence entre

les aires B C C' et C BD est négligeable auprès de chacune d'elles.