CHAPITRE IV

Los équations (1), (2\ (3), ;4\ dont la dernière est une conséquence des deux qui la précèdent, renferment implicitement toutes les formules nécessaires pour la résolution des triangles rectilignes.

1° Relation entre deux côtés et les deux angles opposés.

. L'élimination dedH entre les équations (1) et (4) donne :

dC ({+x'^)Uu d smC rf(« — «0 — — ou — —

tgC œ — «-* sin G « — «*•

Intégrant le premier membre de «r — A à G, et le second de

> à«,ona /. — : — -- = l- r- , ou .

sm A « — «■*

sin G y — >-•

formule qui peut s'écrire aussi

sin A « — «-*

sin G cire, c

sin A cire, n

2° Relation entre trois côtés et un angle.

Eliminant G entre les équations (3) et (5), on a

^du

. |/(x — a-'Y - (y — y'Y sin» A

xdQ ^^-i

dâ {\—oc')doL

d'où Ton tire -j- = . , , .x. -t-tt > ^^

J'intègre le premier lùembre de 1 à .3, et le second de y à «, ea remarquant que iè radical, qui n'est autre que (« — « - M cos G, devient à la limite inférieure d'intégration — (y — y "* ) cos A. * J'obtiens ainsi après l'intégration, et en remontant des logarithmes aux nombres,

^__ «4-«-^ + !/(« — «-*)'+ (y -^ y-*)' sin» A

y 4. y-i — (y — y-1) ces A

Résolue par rapport à l'angle A, cette équation prend la forme :

a -H rt-* — iS (y H- y') "^ [a + «■* — /8'* (y -H y"*)] — ces A z= ^ •" !^ .

Le cosinus devant être plus petit que Tunité, la quantité entre crochets au numérateur du second membre ne peut être affectée que du signe +, et Ton a

ou

a -ha-* ==. — ^— ^ — — COS A.

Cette relation est susceptible de prendre une forme plus facile à retenir ; on en tire, en effet,

;Sy-*-i8-V"* — 2-+-iSy"*+i8-*y— 2 iSy-h/S"* y"* — 5?— /8 y* — iS'* y + '^

d'où, en multipliant les deux membres par w A^

cercle A = cercle (ô -f- c) -h cercle (^ - c) , cercle (6 + c) -- cercle (6 — c)