CHAPITRE IV
De la formule (6) appliquée à l'angle B, on tire :
Si l'on reporte cette valeur dans l'équation précédente, il \ient, après réduction :
— sinBcotAzr -^(y^-yOcosB— ^^ ^ ^^ ^
ou
2 ^ ^ 2 oe — «-*
2 sin R col A * - -^ -'
y — y ' «-t-oi
+ cosB=^ ^ X ^ .. . (7)
formule qui peut s'écrire aussi :
sin TA -+- B) cire, (c-hd)-^ cire, (c — a) cercle c •
î: ^ -~ î: =! !: 1^ COS B.
sin A 2 cire, a 2 ^ A^
4** Relation entre les trois angles et un côté.
Dans la formule (7), je remplace le rapport — par le
ot """■ os
rapport . ^ qui lui est égal d'après la formulé (5); je rem-
2 fiC
place dans la même formule « + «■* par sa valeur -r^
tirée de l'équation (1). 11 vient ainsi l'équation
2 sin B col A . „ sin C 2 d C
+ ces B = ^— - X
y-hy'^ sin A (y-*-yO«^B '
dans laquelle A et y sont des constantes, et qui peut s'écrire : 2 cos A sin B d B + (y + y* ) sin A cos B d B = — 2 sin G d G.
En intégrant le premier membre de zéro à B, et le second membre de ^ — A à G, on en tire :
—2 cos A (cos B — 1) + (y H- y'' ) sin A sin B = 2 (cos G -i- cos A),
cos A cos B 4- cos C = -^^-^ sin A sin B. (8)
Les formules (5), (6), (7), (8) permettent de calculer trois "éléments d'un triangle rectiligne quelconque, lorsque les trois autres sont connus.
Lobatschewsky, dans ses Études géométriques sur la théorie des parallèles, a obtenu, en suivant une marche différente, des formules équivalentes à celles établies dans ce numéro ; elles ne s'en distinguent, quant à la forme, que par la notation particulière qui y a été introduite, et qui en abrège récriture. .
82. Modificalion à apporter aux forrrmles précédentes pour les rendre applicables à un tria/ngle formé par trois sections normales sur la surface dont toxcs les points sont à égale distance d'un même plan.
Quand on suppose que la surface de rayon infini n'est pas un plan, il faut admettre Texistence de surfaces autres que le plan ou la sphère, jouissant comme ces dernières de la propriété d'être partout identiques à elles-mêmes. Une quelconque de ces surfaces s'obtiendrait en construisant le lieu géométrique de points également distants d'un môme plan. Soit S une de ces surfaces, et h la distance de chacun de ses points à un plan M ; si sur le plan M je trace un triangle quelconque dont les côtés soient a, 6, c, et que par chacun de ces côtés je mène un plan perpendiculaire au plan M, les trois plans ainsi construits détermineront sur la surface S, à laquelle ils sont normaux, un triangle curviligne, qui aura les mêmes angles que le triangle rectiligne, et dont les côtés a', h\ c' seront avec les côtés a, b, c dans un rapport constant.
Pour déterminer ce rapport, je conçois sur la surface S une ligne A' B' ^fig. 40, pi. VI , se projetant orthogonalement sur le plan M suivant la droite AB. Soit, sur A' B', un point G' infiniment voisin de A', et se projetant en G. Au point A, de part et d'autre de A B et langentiellement à cette droite, je trace dans
