CHAPITRE IV

le plan AB A'B' les deux arcs de rayon infini A V et A' V; par le point G, je mène deox droites normales à ces arcs en des points P et F, et coupant A' B' en N etN'. L'arc C'N étant égal

à rare G' N', on a A'G' = ^'^'^^'^ . Or, A'N étant infiniment

petit, on peut, d'après le raisonnement déjà appliqué (n» 75) à un cas analogue, lui substituer l'are A'Q parallèle à AP mené par Â' et compris entre A A' et P N, et par conséquent remplacer

A'NparAPx e * , en désignant par h la hauteur A A'. De même, on peut à A' N' substituer un arc A' 0' parallèle à A P*,

et, par suite, remplacer cette longueur par A P' x c . On a donc, l'arc A P' étant égal à l'arc A P,

Mais, A P étant infiniment petit, on peut lui substituer A C, d'où

l'égalité -^ = ^ "^/ . Or, le rapport entre une ligne

située sur la surface S et sa projection est constant. Il en résulte qu entre les côtés des deux triangles considérés sur la surface S et sur le plan M, on a les relations

Les formules trigonométriques relatives aux triangles sur la surface S se déduiront donc de celles relatives aux triangles

rectilignes en y multipliant chaque côté par — j^ — •

Il a été établi (n« 73) que les formules de trigonométrie sphérique exprimant les relations entre les six éléments d'un angle trièdre sont indépendantes de la théorie des parallèles ; il n'en sera plus de même si l'on veut introduire, au lieu des faces

de Tangle trièdre, les côtés du triangle sur la sphère ; il sera d'ailleurs facile, en se reportant à la mesure delà circonférence, de déduire les formules qui conviendraient dans ce cas, des formules usuelles de trigonométrie sphérique.

Sur la sphère de rayon infini, la trigonométrie imaginaire ne diffère en rien delà trigonométrie rectiligne vraie (voir le n° 49}.

Mesures de la surface et du volume de la sphère.