Surface de la sphère

Soit M P N (fig. 41, pi. VI) une demi-circonférence de g^and cercle sous-tendue parle diamètre MN. Je décompose la surface sphérique en zones comprises entre des plans perpendiculaires à MN, et interceptant sur la demi-circonférence M PN des arcs tels que A A', tous égaux à un même arc que je suppose infiniment petit. A A' étant Tun quelconque de ces arcs, j'en joins les extrémités A et A' au centre 0. Soit arc M A =r 5 ; angle M A =: « ; A A' =z ds el angle A A' = c? «. Du point A j'abaisse la droite AB perpendiculaire sur MN. AB étant une fonction de s, l'aire d'une zone dont les limites correspondent aux valeurs ^o et 5, de s sera :

Si

cire. A B X d s s^

Or, dans le triangle rectangle O.AB, on a(n^ 81), en appelant R le rayon de la sphère : cire. A B =: sin « cire. R ; on a d'ail-

leurs — : — .

cire. R 2 9r

L'aire de la zone sera donc :

(cire. R^2 /^' (circRl^^ ^

-^ — / sin oc a X , ou — (ces «„ — ces «ij .

Si Ton fait, dans cette expression, «„ = et «i m ^, on aura la surface totale de la sphère. On trouve ainsi :