CHAPITRE IV
Je remplace, dans Texpression de cos w, les lignes trigonotriques des angles (f>, q> et A par leurs valeurs ; il vient ainsi :
Gosw= 5-^7 4-
RR' ^ l^RR'(w«-M) tm'«4-<)
On tire des équations (1) et (3) :
a? = ; ,doua? — «r= ;
et X — a =
Reportant ces valeurs dans les équations (2) et (4), et multipliant les deux membres de chacune par (m — m^, on- a
et
Pour que les droites se rencontrent, il faut que ces deux équations soient satisfaites par une même valeur de t, ce qui donne l'équation de condition
= — 2(« — a ) (/S - S] [mm* - D— {m—m') [Ri (m« -H D- R'« (m'i -H 1) ] )
Si je multiplie les deux membres de Téquation (5) par
, les deux membres de l'équation (6) par
m«4- 1 ^ wr m'j + i
et si j'additionne membre à membre les deux équations ainsi obtenues, il vient
[m ~ my (m« — m^») fe« f^ = (« - «')« (m«- m'») - 2 («-«') ifi^B) (w- m'I^- (R*.- R'» ) (m - m^.
Je tire de cette égalité la valeur de — — crue ie
porte dans l'expression de cos w; j'y remplace aussi a? — u et X — » par leurs valeurs déjà trouvées; et il vient, après réduction, la valeur suivante de ce cosinus
Cette expression se simplifie, quand on y remplace (m 4- m') [(« — « )^ — {/? — e!f\ par le second membre de l'égalité (7) ; on obtient ainsi, toute réduction faite, la formule suivante :
CO«û)= 777-; ■ T. ■ • ^
91. On ne peut plus dire ici, comme au numéro 86, que la condition, pour que l'angle « tiré de la formule (8) soit réel, exprime que les droites se rencontrent.
Je suppose que les deux droites soient quelconques; pour faciliter la discussion de la formule (8), je suppose, en outre, que leur perpendiculaire commune soit normale à la surface de comparaison (condition qui peut toujours être réalisée par un choix convenable de cette surface). Je prends le pied de cette normale pour origine des abscisses. Pour que les deux droites soient représentées par les équations (1), (2), (3), (4), il faut dans ces équations faire «, R, «' et ^ nuls. La formule (8) devient
cos (à =:
RK [m-hm')
Si Ton déplace Tare des abscisses sur la surface de comparaison, en conservant la même origine, on trouve que la condition, pour que l'expression de cos « conserve la même valeur, quel que soit Tangle dont on fait tourner Tare des abscisses, est:
• (?7i — m') [R'^ (m'* 4- 1) — RM^^ 4- 1 ) ] = . (9)
