CHAPITRE IV

Elle ne peut être satisfaite que de deux manières : 1** Si m est égal à w! ; dans ce cas, les deux droites ont même projection, et par conséquent sont situées dans un même plan qui contient leur perpendiculaire commune ;

2^ Si Ton a R* (w* + 1) = R'* (m'*+ 1) ; dans ce cas, on reconnaît, d'après leurs équations, que les deux droites ont un point commun qui se projette sur l'origine; la perpendiculaire commune est alors perpendiculaire au plan des droites.

Si donc les droites ne sont pas dans un môme plan, l'équation (9) ne peut pas être satisfaite; l'expression de cos «, sous la forme qui a été obtenue, ne peut plus alors avoir aucun sens géométrique défini par la figure que les deux droites forment dans l'espace; car cette expression peut changer de valeur par une transformation de coordonnées, c'est-à-dire qu'elle dépend du choix du système de comparaison.

92. Angle d*un plan avec une normale à la surface de comparaison.

Soit 0?» + 2/^ + Aa? + B y + C = — *«<-* l'équation d'un plan, que je mets sous la forme

en posant » = — ,0 = ^ et R* = — j- C .

Soit l'angle que ce plan fait avec la normale à l'arc de comparaison en un point P (fig. 42, pi, VI) dont les coordonnées sont X, y, z. Soit A le point qui, sur la surface de comparaison, a pour coordonnées «, $. La normale élevée en ce point est perpendiculaire au plan proposé en un point B.

Je mène le plan normal contenant A B et le point P; ce plan normal coupera le plan proposé suivant une droite B M passant par le point P, et la surface de comparaison suivant l'arc de rayon infini A L qui contient la projection P' du point P. Le plan proposé étant perpendiculaire à AB, est perpendiculaire au

plan de la figure, et si je prolonge suivant P Q la normale P P', l'angle Q P M sera précisément Tangle (p dont il s'agit de trouver l'expression.

La projection G' d'un point G pris quelconque sur B M tombera sur l'arc A L, Si je désigne par s la longueur de l'arc A G', a? et y étant les coordonnées du point G' sur la surface de comparaison, on a, en général (n°48),

s^ = [x—çcy+it,-0)\ (2)

La droite BM étant dans le plan proposé, les coordonnées d'un point quelconque de cette droite satisfont à l'équation (1). Si, dans cette équation, je remplace, d'après l'équation (2), la somme [x — «)' + (y — /?; ^ par s^, il vient

équation de la droite B M rapportée, dans le plan de la figure, à l'arc AL et à l'origine A. On en tire (n^ 85)

Sin (P = -^ , Q ou cos (P = eltg (p =

93. Droite perpendiculaire à im plan. Angle d'un plan et d'une droite qui le rencontre. Angle àe deux plans qui se coupent.

Je conserve la figure du numéro précédent (fig, 42, pi. VI). La perpendiculaire menée par le point P au plan proposé sera située dans le plan de cette figure; elle sera perpendiculaire à la droite B M qui est représentée dans son plan (n** 92) par l'équation s^ — R* =: — k^ lr^. Son équation sera donc

(V 86) de la forme { S — a )» — a» + R* = — Aj' T"^ ou S^ — 2Sa+R2 =— ^2T-^

Pour établir les équations de cette droite dans le système

primitif de comparaison à trois coordonnées, on a, en désignant

par X et Y les coordonnées courantes de l'arc A L suivant lequel

la perpendiculaire se projette,