Elément différentiel d'un solide

Soit une surface limitée à un contour fermé, telle qu'une même normale à la surface de comparaison ne puisse la ren-

contrer qu'en un point. Je considère le solide compris entre cette surface et la surface conique obtenue en abaissant de tous les points du contour sur la surface de comparaison des normales prolongées indéfiniment du côté de la concavité. Je décompose un tel solide en éléments compris chacun entre quatre plans normaux déterminant sur la surface de comparaison un rectangle dont une dimension, égale èidx, est comptée parallèlement à Tare des abscisses, et l'autre, égale k dy, est comptée perpendiculairement à cet arc. On détermine facilement le volume d'un tel élément en le décomposant par des surfaces parallèles à la surface de"* comparaison (V. chap. compl. n° XVIII); ce volume a pour expression :

e dxdy.diZ, ou -—-kfdxdy.

des applications que la géométrie imaginaire est susceptible

de recevoir.

97. Sans m'étendre longuement sur les applications de la géométrie^ imaginaire à l'analyse, j'essaierai d'indiquer par un petit nombre d'exemples de quelle nature ces applications peuvent être.

1° Soient, en général, (p {œ, y, z, a, 6...), ^4, {œ, y, z, a, b...), X («, y, z, a, 6.,.) les fonctions qu'on a à substituer à x, y, z, dans une transformation de coordonnées, a, h,., désignant les constantes que cette transformation introduit ; toute fonction F ((?>, -^y 7c)> dans laquelle les constantes a, &... restent arbitraires, conservera encore la même forme en x, y, z, après avoir subi une transformation de coordonnées quelconque. En effet, l'équation F (a?, î/, z) = 0, relative à un système S de comparaison, devient, quand on la rapporte à un système S', de la forme, générale F ((?, -^,,-^=0 ; pour passer du système S' à un système S" quelconque, on peut revenir d'abord au système pri-