CHAPITRE IV

mitif S, ce qui ramène réqaiation à la forme F [x, y, z) :=: o, et partir de là pour passer au système S", ce qui rend à l'équation sa forme générale F {(p, y},, x) = o(l).

2* Le système d'équations représentant une ligne droite est le seul qui, rendu général par une transformation arbitraire de coordonnées, ne contienne que quatre constantes arbitraires. En effet, si une ligne n'est pas droite, deux points ne peuvent sufiftre pour en définir la position dans Tespace ; or, les équations qui expriment analytiquement qu'une ligne passe par deux points sont au nombre de quatre ; les deux points ne déterminant pas la position de la ligne, les quatre équations ne déterminent pas la valeur des constantes ; donc le nombre de ces constantes est supérieur à quatre.

3° Si, par des considérations indépendantes de la théorie des parallèles, on a déterminé dans une figure quelconque la mesure de certains éléments, on peut afi&rmer que les résultats obtenus sont précisément ceux auxquels conduirait le calcul , si on Teffectuait conformément aux méthodes générales ; et l'on connaît ainsi d'une manière certaine le résultat d'un tel calcul, sans qu'il soit nécessaire de l'efiFectuer. Si, par exemple, on applique la formule (c) du n** 25 à l'équation paramétrale de la circonférence, on devra nécessairement trouver, pour la longueur de la circonférence entière, un résultat identique à celui qui a été obtenu au n** 75 par des considérations géométriques.

Lobalschewsky a indiqué quelques applications fondées sur ce dernier principe {voir Journal de Crelle, t. XVII, année 1837). Les formules dont il a fait usage se rapportent à un système de coordonnées rectilignes. Celles que j'ai établies, se rapportant à un autre système, en diffèrent, et conduiront généralement à d'autres conséquences analytiques. De telles applications semblent n'avoir offert jusqu'à présent que peu d'intérêt; mais rien cependant n'autorise à affirmer qu'elles n'en acquerront pas un jour davantage.

(1) Cette proposiUon et la suivante sont présentées ici comme fournissant des applications de la géométrie tmai)ftnatre. Eiles subsistent d'ailleurs dans la géométrie vraie.

Remarque au sujet de Vévidence du postulatum

d'EucHde.

98. Quoique les ressources du raisonnement soient impuissantes à établir en toute rigueur la théorie des parallèles, l'exactitude de cette théorie ne fait cependant l'objet d'aucun doute. Ainsi, nous avons la certitude que l'oblique rencontre la perpendiculaire, sans que ce principe résulte en rien de la loi de nécessité.

Est-ce dans l'expérience que nous puisons une telle certitude ? S'il en était ainsi, elle ne saurait être complète ; car l'imperfection de nos sens ne nous permet pas d'embrasser dans nos observations une étendue indéfinie de l'espace, ni de relever avec une précision parfaite aucun élément dans une figure quelle qu'elle soit, de dimensions petites ou grandes.

Est-ce simplement le sens commun qui nous fait voir clairement que l'oblique rencontre la perpendiculaire ? Mais peut-on attribuer â ce sens commun le pouvoir de rendre évident un principe dont la négation ne peut conduire à aucune absurdité constatée ?

N'est-il pas plus naturel de chercher hors d^ nous, hors de nos facultés, la puissance qui nous révèle une telle vérité, et de reconnaître ainsi la nécessité d'une cause première, éternelle et immuable comme la vérité même qu'elle nous révèle ?