CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

Des axiomes particuliers k la géométrie. — Existeace dé surfaces planes. — La somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne peut excéder deux angles droits. — Mesure de l'angle dièdre. — Déûnition géométrique de la longueur d'an arc de courbe. — De la tangente. — Aire d'une surlace plane. — Aire d'ane surface courbe. — Volume d'un solide. — Démonstration récemment proposée par H. Carton pour affranchir la théorie des parallèles du postulatum d'Euclide; postulatum sous-entendu dans cette démonstration.

I. L'objet des trois premiers chapitres a été de faire voir qu'il existe un ensemble de formules analytiques qui, lorsqu'on leur attribue un certain sens géométrique, vérifient dans toutes leurs conséquences les axiomes de géométrie autres que le postulatum d'Euclide, sans que cependant ce postulatum puisse en être déduit ; d'où il résulte que le postulatum ne peut pas être une conséquence des autres axiomes.

C'est d'après les conclusions de ce chapitre complémentaire, que j'ai pu substituer aux axiomes de géométrie les trois propositions énoncées déjà aux n*''* 36 et 70. Je fais remarquer ici que le choix de ces principes n'est assujetti, eu égard au rôle qui leur est réservé, qu'à une seule condition : ils doivent être tels que tous les axiomes de la géométrie, hormis le postulatum, puissent en être déduits. Sous quelque forme que ces principes soient présentés, il suffira, pour justifier les conclusions des chapitres II et III, de s'assurer qu'ils satisfont à cette condition.

Je suppose la ligne droite définie par la condition d'être le plus court chemin entre deux quelconques de ses points ; j'invoque donc la notion du plus ou du moins dans les longueurs comptées sur des lignes quelconques ; j'invoquerai aussi celle

de rinvariabilité d'une figure indépendamment du lieu qu'elle occupe dans l'espace. Il est permis ici de faire intervenir ces notions, pourvu que Tunique condition imposée soit remplie. Les énoncés dont j'ai fait choix sont les suivants :

A, Soit, dans une figure invariable, un point P et une droite L passant par ce point ; la figure peut être transportée d'un lieu de l'espace dans un autre, de manière que le point P coïncide avec un point P quelconque fixe dans V espace, et que la droite L s'applique exactement sur une droite V, quelle qu'elle soit, menée par le point P (d'après le principe suivant, il sufiBt, pour que les deux droites coïncident, qu'elles aient deux points communs). En outre, si la figure ne se réduit pas à la droite L, ellepourra changer de lieu dans l'espace en tournant autour de deux points fixes pris sur cette ligne, et ce mouvement de rotation pourra être continué indéfiniment [\).

B, Par deux points on ne peut faire passer qu'une seule ligne droite.

C, Ld lieu des points situés à des distances constantes de deux points fi^es, est une courbe fermée unique, en dehors de laquelle aucun point de V espace ne fait partie du lieu.

Il s'agit de ramener à ces trois propositions tous les axiomes particuliers à la géométrie, à l'exception du postulatum d'Euclide. Ces axiomes, ceux du moins qui ne sont pas explicitement compris dans les principes que je viens d'énoncer, peuvent être tous résumés dans les propositions suivantes :

1° n existe des surfaces planes, c'est-à-dire des surfaces conte-

(1) Dans une note communiquée à la Société philomathique de Paris, et insérée au journal Vlnsiitut (n* du 16 février 1870), j'avais énoncé ce premier principe dans les termes suivants :

«Une figure est susceptible de se déplacer dans l'espace d'une infinité de manières, par exemple par une rotation autour de deux points fixes, en restant identique à elle-même, c'est-à-dire en conservant les mômes relations entre tous ses éiémenfs, dont la mesure reste invariable.»

C'est pour présenter le même principe dans des termes plus précis, que j'ai modifié la forme de cet énoncé en y substituant la proposition À.