CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

nant entièrement toute droite qui joint deux quelconques de leurs points.

2"* La longueur d'une courbe, Taire d'une surface, le volume d'un solide, sont des quantités susceptibles d'une mesure déterminée, indépendante du lieu que la figure peut occuper dans l'espace, et, par suite, indépendante de tout système de comparaison (quoique la définition de la ligne droite suppose qu'on possède la notion du plus et du moins dans les grandeurs linéaires, il y aura cependant lieu de montrer que la mesure des longueurs sur une courbe, comme la mesure des aires et celle des solides, peut être obtenue par des procédés géométriques conduisant à des résultats déterminés),

A ces deux propositions je joins la suivante, que Legendre a considérée comme un axiome :

3** L'aire plane est moindre que l'aire de toute surface terminée au môme contour.

Ce dernier principe se démontrerait facilement d'après la définition de Taire d'une surface courbe, au moyen de la théorie des projections; mais il ne faut pas perdre de vue qu'ici aucune démonstration ne doit s'appuyer sur la théorie des parallèles, ni, par conséquent, sur la théorie des projections telle qu'elle se déduit de celle-ci.

Je ferai voir que ces trois principes ou axiomes peuvent être considérés comme résultant des propositions A, B, et C(i).

J'aurai aussi à établir quelques théorèmes que j'ai précédemment invoqués en renvoyant à ce chapitre pour leur démonstration.

Je terminerai en analysant, une démonstration récemment

(1) Je ne parle pas du principe de continuité qu'on invoque dans certaines démonstrations» ce principe ne constituant pas un axiome général de géométrie ; il est d'ailleurs facile de s'assurer que, dans toutes les circonstances où ce principe peut être invoqué, il se retrouve dans les formules mômes ; car la mesure de tout angle, de toute longueur, de toute surface, de tout volume, exprimée au moyen des formules paramétrales, varie d'une manière continue, lorsqu'on fait varier d'une manière continue l'un des éléments dont cette mesure dépend.

proposée à rAcadémie des sciences, et par laquelle M. Carton a essayé d'établir à priori la théorie des parallèles. Cet examen fera ressortir le postulatum sous-entendu dans la démonstration proposée.

Existence du plan.

IL Pour établir Texistence des surfaces planes, je poserai successivement quelques théorèmes élémentaires dont la démonstration peut être faite au moyen des propositions fondamentales A, B, C (n® I) , sans recourir en rien à la considération du plan :

1** Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun sont égaux.

Il n'y a lieu de modifier en rien la démonstration universellement donnée de cette proposition.

2** Deux triangles qui ont les trois côtés égaux chacun à chacun sont égaux.

J'amène par un déplacement les deux triangles à avoir un des côtés égaux commun (prop. A); soient alors ABC, AB'G (fig. 43, pi. VI) les deux triangles à comparer, dans lesquels AB est égal à AB' et G B à GB'. D'après la proposition C, si je fais tourner A B' G autour de A G, le point B' décrira une courbe qui contiendra le point B ; je pourrai donc par cette rotation faire coïncider B' avec B. Les deux triangles ayant alors leurs trois sommets aux mêmes points, coïncideront dans. toute leur étendue (prop. B); donc ils sont égaux.

3° D'un point (fig. 44, pi. VI) extérieur à une droite MN on peut toujours abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Je puis, en efTet, concevoir une sphère d'un rayon assez grand pour qu'elle intercepte sur la droite MN une certaine portion A B de cette droite. Soit P le milieu de A B ; je mène les droites OA, OB et OP. Les deux triangles AP et OBP ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun sont égaux, donc l'angle P A