CHAPITRE COMPLËMENTAIRE

est égal à l'angle P B, c'est-à-dire que la droite P est perpendiculaire sur MN.

4^ Deux obliques Aet B(flg. 44, pL VI) s'écartant également du pied de la perpendiculaire P sont égales.

En effet les deux triangles P A et P B ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun sont égaux, d'où résulte la proposition énoncée.

5^ Soient deux droites P X et PX' (fig. 45, pi. VI), toutes deux perpendiculaires à la droite MN au point P ; ou pourra toujours, en faisant tourner la droite P X' autour de M N, la faire coïncider avec PX.

Je porte de part et d'autre du point P sur la droite M N des longueurs égales, PA, PB.

Il sera toujours possible de prendre sur les droites P X' et P X' deux points à égale distance du point A. D'après le théorème précédent ils seront aussi à égale distance du point B. Donc, d'après la proposition C, une rotation autour de M N pourra amener le point 0' en 0, et alors la droite P X' coïncidera dans toute son étendue avec la droite P X.

6*^ Si l'on fait tourner autour d'un axe MN(fig. 46, pi. VI) une droite qui lui est perpendiculaire au point P, cette droite engendrera un plan.

En effet, soient A et B deux points de la surface ainsi engendrée et situés sur les droites P X et P X' perpendiculaires à M N au point P. Sur la droite A B, qui joint ces deux points, je prends un point R quelconque ; sur MN, de part et d'autre du point P je prends deux longueurs égales PL, PL'; je joins par des droites le point P au point R, et les points L et L' aux points A, B, R. Les obliques A L et A L' s'écartant également du pied de la perpendiculaire A P sont égales ; il en est de môme des deux obliques B L, BL'. Les deux triangles ABL, ABL' ayant ainsi leurs trois côtés égaux chacun à chacun, sont donc superposables; on en déduit que les droites RL et RL' sont égales.

Les deux triangles LPR, L'PR ont donc aussi leurs trois côtés égaux chacun à chacun, donc ils sont égaux^ et l'angle LPR de l'un est égal à l'angle L'PR de l'autre ; c'est-à-dire que la droite

PR est perpendiculaire à M N. Le point R pris quelconque sur la droite AB qui joint deux points de la surface considérée, est donc, d'après le théorème précédent, sur une des positions que la perpendiculaire peut prendre en tournant autour de M N ; c'est-à-dire que ce point, et par conséquent la droite AB toute entière, est situé sur cette surface. Donc la surface est un plan.

III . La somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne peut excéder deux angles droits,

Legendre a indiqué dans ses Éléments de géométrie (livre I, prop. XIX) une construction par laquelle, un triangle quelconque étant donné, on peut en modifier indéfiniment la forme, sans que la somme des angles soit changée. Il arrive ainsi à construire une suite de triangles qui ont tous même somme d'angles que le triangle proposé, et dont deux angles tendent vers zéro, de sorte que le troisième a cette somme pour limite; en même temps les côtés croissent indéfiniment. Rien ne démontrant que la hauteur abaissée sur le plus grand côté tend vers zéro, on n'est pas en droit de conclure, comme l'avait fait Legendre, à moins de s'appuyer sur le postulatum d'Euclide, que le troisième angle tend vers deux angles droits ; mais il est certain qu'étant toujours plus petit que deux angles droits, il ne peut tendre vers une limite plus grande. La somme des trois angles du triangle, qui est précisément la limite vers laquelle tend ce troisième angle, ne peut donc pas excéder deux angles droits (!•

(1) De ce théorème, on dédait facilement, comme coroUa^e, qae, si un triangle est entièrement contenu dans un autre, la somme des trois angles du premier triangle est au moins égale à la somme des angles du triangle enveloppant.

Or, quelque • petit que soit un angle t , on peut toujours construire un triangle T, dont un angle soit égal à.2dr. -«; ce triangle étant construit, on démontre sans peine que les côtés d'un triangle infinitésimal t quelconque peuvent devenir assez petits pour que t soit contenu dans T ; la somme des angles du triangle t devient alors au moins égale à la somme des angles du triangle T, et, par conséquent, plus grande que 2<ir* — e, et cela quelque petit que soit l'angle donné t ; d'ailleurs, cette somme ne peut excéder S^r ;