CHAPITRE COMPLEMENTAIRB

Cette proposition permet de démontrer le théorème suivant auquel j'aurai recours dans la suite.

IV. Soit dans un môme plan une droite indéfinie MN (fig. 47, pi. VII), et un élément rectiligne A B, qui peut être fini ou infiniment petit, et qui se projette orthogonalement sur M N suivant A' B'; je dis que, dans aucun cas, A' B' ne peut être plus grand que A B.

Pour le démontrer, du point A j'abaisse A C perpendiculaire sur B B', et je mène la droite D E perpendiculaire sur le milieu de B'C, coupant en E le côté A A'. Si je rabats le quadrilatère D E A' B' sur le môme plan, en le faisant tourner autour de D E comme charnière, B' tombera en G, et le côté B' A' prendra la direction de G A. Si A' B' était plus grand que A G, le point A' se rabattrait en un point a situé sur le prolongement du côté G A ; Tangle GaE étant droit, l'angle G AE serait obtus, et, par conquent, dans le quadrilatère GA A'B' la somme des quatre angles serait supérieure à quatre angles droits, ce qui est inadmissible, la somme des trois angles d'un triangle ne pouvant excéder deux angles droits. Donc A' B' ne peut ôtre plus grand que A G, ni, à plus forte raison, que AB.

£oit maintenant AB infiniment petit, et l'angle BAG fini;

d'après le n® 7 du chapitre l*', le rapport , ^t, par suite,

aussi le rapport , , surpassera l'unité d'une quantité finie.