V. Mesure de V angle dièdre

Soit un angle dièdre L A BM (fig. 48, pi. VII); soient Pet P' deux points quelconques sur l'arôte. Par ces deux points, et perpendiculairement à l'arête A B, je mène des plans coupant les deux faces, le premier suivant P R et P S, le second suivant

on relrouve donc ainsi ce théorème déjà démontré au commencement du chapitre V (n' 1) :

Dans un triangle infinitésimal, la somme âes trois angles est, h la limite, égale à deux angles droits.

P' R' et P' S' (rexislence de tels plans a été démontrée au n« II) ; je dis que les deux angles RP S, R'P'S' sont égaux.

Ordinairement on s'appuie sur la théorie des parallèles pour démontrer cette proposition ; ici, cette théorie ne doit pas être invoquée, ce qui oblige à présenter la démonstration du théorème sous une autre forme.

Je prolonge la face MAB au delà de l'arête, et je forme ainsi un second angle dièdre L A BN adjacent au premier. Les plans perpendiculaires à l'arête A B menés par les points P et P' coupent la face A B N suivant les droites P T et P' T', qui sont les prolongements de P S et P' S'.

Je suppose les deux angles S P R etTP R commeusurables, et je les conçois divisés en parties égales à la commune mesure. Soient gPhetuVv deux quelconques de ces divisions; je fais passer des plans par l'arête AB et parchacunedesdroitesPg',PA,Pt&, Pv. Ces plans déterminent, sur le plan R' T' S', des angles g^V^K, u^V^v'. Si je fais tourner l'angle hVg autour de AB comme axe, ses cOtés resteront dans le plan RTS, et je pourrai faire coïncider cet angle avec son égal uVv. Mais, dans cette rotation, les côtés de l'angle g^YK restent dans le plan R'T'S', qui est perpendiculaire àAB, et viennent coïncider avec ceux de l'angle u^ P' -y'; les angles u^ P' v' et g^Y K sont donc égaux.

En appliquant la même construction à toutes les lignes issues du point P qui partagent les angles SPR et TPR en parties égales, on arrive à cette conclusion, que les angles S' P' fi.' et T' P' R' sont entre eux dans le même rapport que les angles SPR et T P R. Cette proportionnalité, établie dans le cas où ces deux derniers angles ont une commune mesure, s'établira ensuite sans aucune diflBiculté dans le cas où ils sont incommensurables. On a donc d'une manière générale :

angle SPR angle S' F' R'

angleTPR angle T' P' R' ' *

d'où l'on tire :

angle SPR t angle S^ P^ R^

angle S P R + angle T P R "^ angle S' P' R' + angle T' P' R'