CHAPITRE COMPLËHENTAIRE

Or, on a angle S P R + angle T P R = angle S' P' R' + ânglo T' P' R' = 2^'; donc

AngleSPR = AngleS'FR',

ce qu'il fallait démontrer.

Cet angle constant mesure l'angle dièdre.

Longueur d'un arc de courbe. — Tangente.

YI. Soitsur une courbe quelconque un arc M N (fig. 49, pi. VII). J'imagine inscrits successivement dans cet arc des contours polygonaux Ci, Cj, C,...., dont la suite indéfinie est assujettie à cette seule condition que, quel que soit un contour polygonal R invariable inscrit dans l'arc M N, il existe toujours dans la suite Cl, Cj, C3.... un contour Cr, qui ait, ainsi que tous ceux d'un indice supérieur à r, des sommets sur chacun des arcs soustendus par les côtés du contour R. Je dis que, dans ces conditions, la limite L, vers laquelle tendent les périmètres P*, Pj, Pj... des contours Ci, C», Ca...., est déterminée.

En effet, soit P, le périmètre du contour C, dont les sommets, en nombre n, sont aux points a^ a,, as...., a^. J'imagine n sphères ayant ces sommets pour centres, et ayant un môme rayon 5 qui pourra être aussi petit qu'on voudra.

Je suppose maintenant qu'une nouvelle suite de contours C/, Cj', Cs'...., différente de la première, fournisse des périmètres Pi, Pa, Pï .... dont la limite L' puisse différer de L; il existera dans cette suite un contour dj qui aura, ainsi que tous ceux d'un indice supérieur, des sommets sur chacun des arcs enveloppés par les sphères. Je ne considère sur chacun de ces arcs qu'un seul sommet du contour C/, et je le joins par une ligne droite au centre de la sphère correspondante. Je forme ainsi n cordes, dont la somme est moindre que n p. Or, si j'ajoute ces cordes, répétées chacune deux fois, au périmètre P ', la somme ainsi obtenue, moindre que P/, 4- 2 n p, sera plus grande que P„ car elle se compose de lignes brisées aboutissant aux extrémités de chacune des cordes qui forment le périmètre P.. J'ai donc l'inégalité P„' 4- 2 n p > P„ qui subsistera si

112 ËTUDEâ ANALYTIQUES SUR LA THÉORIE DES PARALLÈLES.

je change rindice v en un indice d'un rang supérieur quelconque. Si donc on remplace P'» par la limite L', la somme L' H- 2nf ne pourra jamais être inférieure à P*. D'ailleurs 9 peut devenir plus petit que toute quantité donnée, et P, difiFère aussi peu qu'on veut de L. DoncL' ne peut être en aucun cas moindre que L. Par la même raison L ne peut être moindre que L' ; on a donc nécessairement L=:L', ce qu'il fallait démontrer.

Cette limite constante est, par définition, la longueur de l'arc (1).

Remarqua. — Après le raisonnement qui vient d'être exposé, il est nécessaire de revenir sur la définition de la ligne droite.

(1) J'ai supposé que les périmètres des contours polygonaux successivement inscrits dans Tare ne croissaient pas au delà de toute limite; je dis que sur une courbe, quelle qu'elle soit, on peut toujours prendre un arc tel que cette condition soit remplie. Je remarque d'abord que le périmètre d'un polygone inscrit dans une circonférence de rayon quelconque est moindre que celui d'un polygone circonscrit qu'il est toujours possible de construire, et par conséquent tend vers une limite finie qui est la longueur de la circonférence. Cela posé, je considérerai successivement le cas d'une courbe plane, le cas d'une courbe sur la surface d'une spbère, et enfin le cas d'une courbe quelconque.

1* Cas d'une courbe plane. Soit un point dans le plan hors de la courbe (fig.50, pi. YII); je prends sur la courbe un arc A B tel qu'il ne puisse être coupé qu'en un point, soit par une droite issue du pointu, soit par une circonférence décrite du point comme centre (cette condition est toujours réalisable). Soit B > A; je mène l'arc de circonférence B H, compris dans l'angle au centre B OA. On reconnaît de suite, par la construction indiquée sur la figure, que le périmètre de tout contour polygonal inscrit dans l'arc A B j

est moindre que la somme AH+arcHB, et par conséquent a une limite ^

finie. I

2» Cas d'une cowrbe située sv/r la Sfurface d^une sphère. Raisonnement semblable ; les droites issues du point G doivent être remplacées dans ce cas par des arcs de grand cercle, et l'arc B H par un arc de grand cercle décrit du point comme pôle.

3* Cas d'une courbe quelconque. Pour ramener ce cas général au cas précédent, on pourra conserver encore la même forme de raisonnement: l'arc B H, au lieu d'être un arc de cercle, sera alors la projection conique de l'arc AB sur la surface d'une sphère décrite du point comme centre.