CHAPITRE COMPLËMENTAIRE

Toutes les propriétés de cette ligne ont été tirées des deux principes suivants :

1** La ligne droite est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points.

2*^ Par deux points on ne peut faire passer qu'une seule ligne droite.

Ces deux propositions, dont la première suppose la notion du plus ou du moins dans les longueurs comptées sur les lignes courbes, contiennent une définition et un axiome. Tant qu'il ne s'est pas agi de préciser ce qu'on entend par la longueur d'un arc de courbe, il n'y a pas eu lieu, dans les démonstrations, de s'inquiéter oîi était l'axiome et où était la définition; et si j'ai considéré quelquefois le premier de ces deux principes comme contenant la définition de la ligne droite, je peux aussi bien tirer cette définition du second. Je dirai, dans ce cas, que d'un point A à un point B il existe toujours une ligne, mais une seule, dont aucun point ne peut être déplacé par une rotation autour des points fixes A et B. J'appellerai lign^ droite la ligne unique qui satisfait à cette condition, et je feraf remarquer qu'une telle ligne jouit nécessairement de la même propriété entre deux quelconques de ses points.

En second lieu, conservant le nom de ligne brisée à toute ligne composée de lignes droites, j'énoncerai, comme axiome, cet autre principe, que la ligne droite est plus courte que toute ligne brisée terminée aux mêmes extrémités (1). La longueur d'une courbe étant définie par la limite vers laquelle tend une ligne brisée terminée à ses deux extrémités et dont le périmètre peut être toujours croissant, ce dernier principe contient la première des deux propriétés générales de la ligne droite : la ligne droite est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points.

En procédant ainsi, on s'affranchit de toute notion préalable

(1) L'évidence de ce principe permet de le considérer comme un axiome; je n'ai pas à examiner ici s'il est ou non susceptible de démonstration.

sur la longueur des lignes courbes ; en revanche, on introduit un nouvel axiome : Vexistence de la ligne droite,

YII. Je rappelle ici ce théorème de géométrie élémentaire, que, dans un plan, un arc convexe (c'est-à-dire qui ne peut être coupé par une ligne droite en plus de deux points) est moindre que toute ligne enveloppante.

On en déduit ce corollaire, que, sur une circonférence quelconque (flg. 51, pi. VIT), un arc A G est moindre que la tangente A T menée par l'extrémité A, et limitée^ au prolongement du rayon G qui passe par Tautre extrémité de l'arc.