VIII. De la tangente à une courbe quelconque

Soit un arc de courbe M N (fig. 52, pi. VII) ; je dis que, généralement, si, à partir d'un point quelconque de la courbe, je prends un arc infiniment petit , la corde qui sous-tend cet arc aura une direction déterminée, et qu'il ne peut y avoir d'exception à cette règle qu'en des points isolés de la courbe.

Je .prends sur la courbe MN un arc quelconque R S , dans lequel j'inscris un contour polygonal Ra...j9g...S.

Admettons qu'à partir de chaque point de l'arc R S, qui peut être aussi petit qu'on voudra, on puisse prendre, dans le sens de M à N, deux arcs infiniment petits, dont les cordes, issues toutes deux de ce point, fassent entre elles un angle plus grand qu'un certain angle « différent de zéro. S'il pouvait en être ainsi, quelque petite qu'on suppose une longueur v, il existerait toujours une longueur o-' assez petite pour que, à partir de chaque point h de l'arc R S, on puisse prendre deux arcs moindres que «r, et en même temps plus grands que v, dont les cordes, issues toutes deux du point h, fassent entre elles un angle plus grand que «. Le point h appartenant, par exemple, à l'arc spus-tendu par le côté p q, l'une au moins de ces deux cordes devra avoir avec sa projection orthogonale sur p q (n^ IV), un rapport surpassant l'unité d'une quantité qui restera toujours supérieure à une certaine limite déterminée différente de zéro, quelque petite que devienne la longueur de Ydxcpq, et quel que soit 9.