CHAPITRE PREMIER
Ce théorème se démontre sans aucune difficulté par des raisonnements semblables à ceux du numéro précédent, et sur la même figure, en comparant successivement le triangle AGB aux triangles AF B, AEB et finalement A E D ou A' B' G'.
12. Si dans deux triangles infinitésimaux ABC, A'B'C dont tous les angles sont finis, les angles homologues ont les mêmes limites, à savoir A même limite que A', B que B', G que G', les
rapports ^-7^,, -rr^ 9 -^nré > des côtés homologues ne peuvent
différer entre eux que d'une fraction infiniment petite d'euxmêmes.
Je supposerai ici que ces rapports restent finis, et j'ajoute, pour prévenir toute objection tendant à contester la généralité d'une démonstration ainsi restreinte, que le théorème ne sera appliqué que dans le cas où cette condition se trouvera remplie. Il pourra d'ailleurs être démontré directement d'une manière générale, au moyen des formules analytiques qui seront établies dans le chapitre IL
Je considère d'abord le cas où les côtés des deux triangles ' décroissent suivant une telle loi qu'une commune mesure soit toujours contenue m fois dans AB et n fois dans A' B', les nombres entiers m et n étant constants ou du moins restant finis. Je divise A B en m parties égales à la commune mesure (^fig. 7, pi. 1) ; par chaque point de division je mène des droites formant avec la portion de la ligne B A dirigée du côté du sommet A des angles égaux à B. Soient pr eX q s deux de ces lignes menées par les deux points de division consécutifs p et ç, et limitées au côté A G. Sur la division p<7 je construis le trianglepç i ayant l'angle en p égal à A, et l'angle en q déjà construit égal à B. Répétant la même construction sur chacune des divisions du côté B A, j'obtiens des triangles tous égaux au triangle pql, o\x au triangle kah qui a la première division pour base, comme ayant côté égal adjacent à angles égaux chacun à chacun.
Les triangles kpr, kqs etpql ont chacun un angle égal à A et un angle égal à B. Donc dans chacun, le troisième angle a
même limite que G. De là les égalités suivantes entre les limites d'angles :
lim. plq = lim. ksq = lim. krp (1)
et par suite :
lim. prs = lim. pi s, (2)
comme suppléments d'angles égaux.
L'angle rp l étant supplémentaire de la somme kpr + qpl,
ou A + B, on a aussi :
lim. rpl = lim. G. (3)
Je mène la droite Ir, Dans le triangle r^ 5, l'angle en r a pour supplément à la limite, la somme rls-\-ksq, on, d'après les égalités (1), ris + plq; d'où l'on tire :
lim. 1rs = lim. plr (4)
Si Ton retranche membre à membre l'égalité (4) de l'égalité (2), il vient : lim. prl = lim. ri s. De l'égalité (3) on déduit que l'angle rp l est fini, ainsi que son supplément ; les côtés ^ r et p l, comprenant cet angle, étant dans un rapport fini, l'un avec kp, l'autre avec ^5^, qui est une fraction finie de kp, sont du môme ordre de grandeur ; donc les trois angles du triangle p l r sont finis (n^ 5, cor. II), et le théorème du n^ 10 peut être appliqué Q.uxtTmngles p Ir etslr, qui ont le côté Ir commun adjacent à des angles homologues dont les limites sont égales. On en tire :
lim. — - =: 1 : d ou lim. — z= lim. — =■ lim. -7 — , rapport
pi p q p q k a ^^
indépendant du rang que la division p q peut occuper parmi toutes celles dont se compose AB. On en déduit aisément que la ligne p r, ainsi que chacune des lignes menées de la même manière par les autres points de division du côté A B, partage à la limite les deux côtés de l'angle A en parties proportionnelles. Si à partir du point A je prends sur A B n divisions, la longueur AD obtenue sera égale au côté A' B' du second triangle. Soit D E la ligne menée par le point D faisant l'angle A D E égal
à B. On aura, d'après ce qui précède, lim. t-tt = lim. t-^;
dans les conditions de l'énoncé, et d'après le théorème du n« 10 appliqué aux triangles ADE et A'B'G', l'égalité subsiste
