CHAPITRE COMPLËHENTÂIRE

n est facile d'en conclure, en désignant par L la longueur de Tare R S , qu'après avoir construit un contour polygonal Ka...pq...S, dont le périmètre P diffère aussi peu qu'on veut de L, on pourrait, dans l'hypothèse où je me suis placé, en intercalant de nouveaux sommets entre les points R, a, ... p, y, ... S,

former un second contour de périmètre P', tel que le rapport -—

surpasserait Tunité d'une quantité qui resterait finie lorsque P tendrait vers L. Hais une telle conclusion est inadmissible, P' restant toujours compris entre les longuem*s P et L dont le rapport tend vers un. Donc, quelque petit que soit l'arc R S, il contient nécessairement certain point h à partir duquel la corde qui sous-tend un arc infinitésimal a une direction limite déterminée (je suppose ici que l'arc infinitésimal est pris à partir du point h dans un sens donné, par exemple dans le sens de MàN). Donc aussi les points qui ne remplissent pas cette condition, s'il en existe, sont des points isolés.

Soit h T la droite menée suivant la direction limite d'une corde qui sous-tend un arc infinitésimal pris à partir du point h sur la branche AN. La droite AT est la tangente à cette branche menée par le point A.

Soit A T' la tangente à la branche A M menée par le même point; je disque, généralement, les droites AT et AT' sont dans le prolongement l'une de l'autre, et qu'il ne peut y avoir d'exception à cette règle qu'en des points isolés de la courbe.

En effet, si l'on supposait qu'en chaque point d'un arc RS aussi petit qu'on voudra, il puisse y avoir double tangente, on pourrait déterminer une longueur telle que deux cordes issues d'un même point de l'arc, de part et d'autre de ce point, et plus petites que cette longueur, fassent toujours entre elles un angle fini. Imaginons alors une série de contours polygonaux inscrits dans l'arc R S, dont tous les côtés , que je suppose de même ordre, soient moindres que cette longueur; en joignant les sommets de deux en deux, je formerai un nouveau contour, dont le périmètre différerait du précédent d'une quantité finie (n** 8) ; or, d'après le n'* VI , ce résultat ne peut être admis ; donc, en général, la tangente en un point est unique.

IX. Quelle que soit la loi suivant laquelle deux points M et N d'une courbe (flg. 53, pi. VIT) viennent à se confondre en un seul point P où la tangente à la courbe est unique, l'angle que la corde M N fait avec la tangente en chacun des points M et N tend vers zéro.

En effet, on peut toujours concevoir de part et d'autre du point P des arcs PR et PS sufiBsamment petits pour que, sur toute leur étendue, il n'y ait en chaque point qu'une seule tangente. Dans ce cas, quelque petit que soit un angle s fini , il y aura toujours une longueur o- finie , telle que la corde de tout arc moindre que <r et compté sur R S fasse avec la tangente à Tune quelconque de ses extrémités un angle moindre que « ; car s'il en était autrement, il est aisé de reconnaître qu'il y aurait en certain point deux tangentes faisant entre elles un angle au moins égal à i .

Gela posé, lorsque l'arc MN sera moindre que <r, l'angle que sa corde fera avec l'une quelconque des tangentes en M et en N sera moindre que i ; d'ailleurs, l'angle i peut être pris aussi petit qu'on veut; d'où résulte la proposition énoncée.

Corollaire. Quand la corde MN est infiniment petite, la distance d'un point quelconque de l'arc MN à cette corde est un infiniment petit d'un ordre supérieur.

En effet, deux cordes infinitésimales issues d'un même point de la courbe , étant toutes deux infiniment voisines de la tangente en ce point, font entre elles un angle infiniment petit; si donc de l'extrémité de l'une d'elles j'abaisse une perpendiculaire sur l'autre, la longueur de cette perpendiculaire sera d'un ordre plus élevé que chacune des deux cordes (eh. V^, n° 5).

X. La tangente étant unique en chaque point de l'arc RS (fig. 53, pi. Vil), si un point P se déplace sur cet arc d'une manière continue, la tangente en ce point se déplacera elle-même d'une manière continue.

En effet, soit P' un point infiniment voisin du point P, la corde