CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

PP' fera un angle infiniment petit avec chacune des tangentes en P et en P' ; donc ces deux tangentes , sur une longueur finie quelconque, sont infiniment voisines de la corde que je suppose prolongée dans les deux sens; donc aussi, sur une longueur finie quelconque , les deux tangentes sont infiniment voisines Tune de l'autre.

Aire d'une courbe plane.

XL Je conçois Tespace plan décomposé en zones identiques par une suite illimitée d'arcs de rayon infini, tels que uv, u'v\,. (fig. 54, pi. VU), tous parallèles à un même arc donné UV, et interceptant sur une quelconque de leurs normales communes des divisions égales d'une longueur A (ch. Il, n° 19). Je conçois de même toutes les zones décomposées en cases identiques , limitées chacune par deux normales dont la longueur est h , et par deux arcs dont les longueurs a et 6 sont les mêmes pour chaque case (6 est déterminé lorsque A et a le sont). Si une figuré est formée par la réunion de 2, 3, 4... de ces cases, je dirai que l'aire de cette figure est double, triple, quadruple... de l'aire d'une case.

Soit, d'une manière générale, à comparer deux surfaces quelconques S et T, situées dans le plan, et limitées chacune par un contour fermé. Si les dimensions h, a, b des cases sont suffisamment petites , il y aura un certain nombre m de ces cases qui seront entièrement contenues à l'intérieur de la surface S,^ et un certain nombre n à l'intérieur de la surface T. Les arcs qui limitent les différentes zones étant toujours supposés, quant à présent, parallèles à l'arc donné U V, on démontrera, comme on le ferait si , la théorie des parallèles étant admise , on avait à raisonner sur des cases déterminées par deux systèmes de lignes droites se coupant à angle droit , que , lorsque les dimensions h, a, et par suite 6, deviennent infiniment petites, le nombre des cases traversées par les contours des surfaces S et T devient négligeable auprès des nombres m et n; et que, en outre, le

rapport — tend vers une limite déterminée, indépendante de

la loi suivant laquelle décroissent les dimensions des cases. C'est par cette limite que je définis le rapport entre les aires des surfaces S et T; ainsi, si Taire T est prise pour unité de surface.

Taire S aura pour mesure lim. — (on verra plus loin que cette

mesure est indépendante de la position de Tare U V).

Remarquons de suite que, le nombre des cases traversées par un contour fermé quelconque devenant, lorsque les dimensions de ces cases sont infiniment petites, négligeable auprès du nombre de celles que ce contour enveloppe entièrement , Taire d'une figure composée de plusieurs autres est, d'après la définition précédente, un tout dont les aires des figures partielles forment les différentes parties.

Je présenterai la même définition sous une seconde forme équivalente à la première, et à laquelle j'aurai Toccasion de me reporter dans la suite de ce numéro :

Soient A B et CD (fig. 55, pi. VII) deux arcs de rayon infini parallèles à un arc donné UV, et qui, touchant le contour d'une surface S en des points M et N, laissent cette surface tout entière, Tun du côté de sa convexité, l'autre du côté de sa concavité. Entre les arcs A R et CD,je mène différents arcs t&j -y j, u^Vi,...UpVp parallèles à Tare UV, et limités au contour de la surface S. Soient /i, /,,... /^les longueurs de ces arcs exprimées numériquement par leurs rapports à Tunité de longueur; soient Zi, z^,,.. Zp, Zp^i les distances successives, exprimées numériquement, qui séparent les arcs AB, u^v^, u^v^,...UpVp, CD. Conformément à la définition précédente , Taire de la surface S est proportionnelle à la limite vers laquelle tend la somme

^1^1 "+-^2 Zi + + /p2/», lorsque les hauteursjgr 1,-^2 f-'-^fj», ^/h-*

deviennent toutes infiniment petites. Je prendrai cette limite, qui s'exprime analytiquement par une intégrale définie, pour la mesure de la surface S; si cette limite est égale à 1, S sera Tunité de surface.

La définition de Taire d'une surface plane, prise sous Tune ou l'autre des deux formes équivalentes sous lesquelles elle vient d'être présentée, est rapportée à un certain arc de rayon infini