CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

supposé donné. Il reste à faire voir, sans s'appuyer en rien sur la théorie des parallèles, que, ainsi définie , Taire d'une surface plane a toujours môme mesure, quel que soit Tare auquel on la rapporte»

Soit S Taire d'une surface plane quelconque rapportée à un arc de rayon infini UV (fig. 56, pi. VIII) situé dans le plan de cette surface; soit S' Taire de la môme surface rapportée à un second arc U' V situé dans le même plan. Je me propose ici de démontrer Tégalité S' = S.

Je supposerai Té tendue indéfinie du plan décomposée en zones d'égale hauteur par des arcs «de rayon infini parallèles à U V, et je décomposerai ces zones, par des normales, en cases ayant toutes les mêmes bases. Soit m le nombre des cases entièrement contenues dans la surface considérée, et m le nombre des cases traversées par le contour de cette surface. Quel que soit Tare auquel on rapporte la mesure des aires, Taire de la surface considérée sera toujours comprise entre Taire totale des m cases intérieures, et celle des m h- m cases qui ont des points communs avec la surface ; de plus, lorsque les dimensions des cases deviennent infiniment petites, m devient négligeable auprès de m. On conclut facilement de là que, pour établir Tégalité S' = S , il suffit de démontrer que Taire de chaque case infinitésimale conserve la môme mesure, quel que soit celui des deux arcs DV ou U'V auquel on la rapporte. Ainsi, abcd figurant une des cases construites, s désignant Taire de cette case rapportée à Tare U V, et 5' Taire de la même case rapportée à Tare U* V, il s'agit uniquement de démontrer que, lorsque les dimensions ab et ac de cette case sont infiniment petites, on a 5' = s.

Dans les relations entre les différents éléments que j'aurai à considérer, je traiterai directement comme quantités égales entre elles, des quantités qui ne peuvent différer Tune de l'autre que d'une fraction infiniment petite d'elles-mêmes; dans ces mêmes relations , je supposerai toujours toutes les longueurs exprimées numériquement par leur rapport à l'unité de longueur. D'après cela, la hauteur ac étant infiniment petite, je peux poser Tégalité cd=ab, qui subsistera encore, si je rem-

place l'arc c d par tout autre arc c' dl parallèle à U V, situé entre aô et crf, et limité aux côtés ac et bd.- On a donc, en prenant la définition des aires sous la seconde forme, s = abxac.

Soient a e et c/" deux arcs parallèles à TarQU' V, menés par les points a, c, et limités au côté bd o\x k son prolongement; soit agldi normale abaissée du point a sur Tare cf. En menant les cordes a&, ae, cd, cf, on forme deux triangles abeetcdf, qui ont, à la limite, leurs trois angles égaux chacun à chacun ; dans ces deux triangles infinitésimaux , les côtés opposés aux angles égaux ont des rapports égaux (ch. I", n® 12). Il en sera de même si je remplace les côtés ab, ae, cd, c/'par les arcs que ces cordes sous- tendent. Or, le rapport des arcs cd et ab

est égal à un ; on a donc aussi = l , ou arc c/= arc ae.

arc ae

Cette dernière égalité subsistera encore si je remplace Tare cf

par tout autre arc c' f parallèle à U' V, situé entre les arcs ae

et cf, et limité aux côtés a cet cf. On en déduit que l'aire aecf,

rapportée à l'arc U'V', a pour mesure aex ag. Or, si je mène

la corde cg,\es deux triangles acg et abe ont, à la limite, leurs

trois angles égaux chacun à chacun; ils ont donc, à la limite,

leurs côtés proportionnels; de là l'égalité

corde ae corde ab arc ae arc a 6

, = , ou = -;

ac ag ac ag

d'où l'on tire aexag=zabx ac. Cette dernière égalité montre que l'aire abcd rapportée à l'arc UV, aire que j'ai appelées, est égale à l'aire aecf rapportée à l'arc U' V; pour achever la démonstration, il ne reste plus qu'à faire voir que, en rapportant les aires à l'arc U' V, l'aire abcd, on s\ est égale à l'aire aecf.

Je mène différents arcs parallèles à U'V, limités, les uns à l'arc a 6 et au côté be, les autres à l'arc cd et au côté df; je supposerai que les points de division déterminés sur les arcs a & et cd sont deux à deux sur une même normale commune à ces deux arcs. On démontrera, comme on a démontré plus haut l'égalité B,vccf=:a,Tcae, que les arcs menés parallèle-